题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A,与y轴交于点C,点B的坐标为(a,0),(其中a>0),直线l过动点M(0,m)(0<m<2),且与x轴平行,并与直线AC、BC分别相交于点D、E,P点在y轴上(P点异于C点)满足PE=CE,直线PD与x轴交于点Q,连接PA.
(1)写出A、C两点的坐标;
(2)当0<m<1时,若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形(注:若△HNK满足HN=2HK,则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形),求出m的值;
(3)当1<m<2时,是否存在实数m,使CDAQ=PQDE?若能,求出m的值(用含a的代数式表示);若不能,请说明理由.
【答案】
(1)
解:在直线解析式y=2x+2中,当y=0时,x=﹣1;当x=0时,
y=2,
∴A(﹣1,0),C(0,2)
(2)
解:当0<m<1时,依题意画出图形,如答图1所示.
∵PE=CE,∴直线l是线段PC的垂直平分线,
∴MC=MP,又C(0,2),M(0,m),
∴P(0,2m﹣2);
直线l与y=2x+2交于点D,令y=m,则x= ,∴D(
,m),
设直线DP的解析式为y=kx+b,则有
,解得:k=﹣2,b=2m﹣2,
∴直线DP的解析式为:y=﹣2x+2m﹣2.
令y=0,得x=m﹣1,∴Q(m﹣1,0).
已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形,由图可知,PA=2PQ,
∴ ,即
,
整理得:(m﹣1)2= ,解得:m=
(
>1,不合题意,舍去)或m=
,
∴m=
(3)
解:当1<m<2时,假设存在实数m,使CDAQ=PQDE.
依题意画出图形,如答图2所示.
由(2)可知,OQ=m﹣1,OP=2m﹣2,
由勾股定理得:PQ= (m﹣1);
∵A(﹣1,0),Q(m﹣1,0),B(a,0),
∴AQ=m,AB=a+1;
∵OA=1,OC=2,由勾股定理得:CA= .
∵直线l∥x轴,∴△CDE∽△CAB,
∴ ;
又∵CDAQ=PQDE,∴ ,
∴ ,即
,
解得:m= .
∵1<m<2,
∴当0<a≤1时,m≥2,m不存在;当a>1时,m= .
∴当1<m<2时,若a>1,则存在实数m= ,使CDAQ=PQDE;若0<a≤1,则m不存在.
【解析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征求解;(2)如答图1所示,解题关键是求出点P、点Q的坐标,然后利用PA=2PQ,列方程求解;(3)如答图2所示,利用相似三角形,将已知的比例式转化为: ,据此列方程求出m的值.
【考点精析】通过灵活运用一次函数的性质和一次函数的图象和性质,掌握一般地,一次函数y=kx+b有下列性质:(1)当k>0时,y随x的增大而增大(2)当k<0时,y随x的增大而减小;一次函数是直线,图像经过仨象限;正比例函数更简单,经过原点一直线;两个系数k与b,作用之大莫小看,k是斜率定夹角,b与轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,变化规律正相反;k的绝对值越大,线离横轴就越远即可以解答此题.
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