Question

【题目】如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF，EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．

（1）求证：BE=2CF；
（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）证明：过F作FH⊥BE，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，

∴四边形BCFH为矩形，

∴BH=CF，

又∵BF=EF，

∴BE=2BH，

∴BE=2CF；

（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：

∵MN⊥EF，

∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，

∴∠ABN+∠E=90°，

∵BF=EF，

∴∠E=∠EBF，

∴∠ABN+∠EBF=90°，

又∵∠EBC=90°，

∴∠CBF+∠EBF=90°，

∴∠ABN=∠CBF，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90°，

在△ABN和△CBF中

∴△ABN≌△CBF（ASA），

∴BF=BN，

又由旋转可得EF=FG=BF，

∴BN=FG，

∵∠GFM=∠BME=90°，

∴BN∥FG，

∴四边形BFGN为菱形．

【解析】（1）过F作FH⊥BE，垂足为H，首先证明四边形BCFH为矩形，依据矩形的性质可得到BH=CF，然后由H为BE中点，可得BE=2CF；
（2）首先证明△ANB≌△CFB，依据全等三角形的性质可得到BN=BF，然后再证明BN=GF，且BN∥FG，可最后，依据菱形的判定定理进行证明即可.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用菱形的判定方法和正方形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．