题目内容

精英家教网如图，已知点A（2，4）在反比例函数y=
k
x
(x＞0)的图象S1上，将双曲线S1沿y轴翻折后得到的是反比例函数y=-
k
x
的图象S2，直线AB交y轴于点B（0，3），交x轴于点C，P为线段BC上的一个动点（点P与B、C不重合），过P作x轴的垂线与双曲线S2在第二象限相交于点E．
（1）求双曲线S2和直线AB的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，线段PE的长为h，求h与m之间的函数关系，并写出自变量m的取值范围；
（3）在线段BC上是否存在点P，使得P、E、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由A点坐标易求k值，再根据翻折的特点求出双曲线S2的解析式；根据A、B两点坐标求直线解析式；
（2）根据PE=E点纵坐标-P点纵坐标，求h与m之间的函数关系式；
（3）△BOC为直角三角形，而∠EPA不是直角，所以另外两个角可能是直角，分两种情形讨论．
解答：解：（1）∵点A（2，4）在y=
k
x
的图象上，则k=8，
∴双曲线S2的解析式为y=-
8
x
，
设直线AB的解析式为y=ax+b，
则
2a+b=4
b=3
，
∴y=
1
2
x+3；
∴y=
1
2
x+3；

（2）由（1）可设P（m，
1
2
m+3），
又PE⊥x轴，则E点的横坐标与P点相同为m，
点E在双曲线S2上，
∴yE=-
8
m
，即E（m，-
8
m
），
∴h=yE-yP=-
8
m
-
1
2
m-3（-6＜m＜0）；

（3）分两种情况：
①若△AEP∽△COB，如图1，
此时，∠AEP=∠COB=90°，即AE⊥EP，
则yE=yA=4，xE=-2；
∴E（-2，4）；
又EP⊥x轴，则xP=xE=-2，
yP=
1
2
xP+3=
1
2
×（-2）+3=2；
∴P（-2，2）；
②若△EAP∽△COB，如图2，
此时∠EAP=∠COB=90°，过点A作AF⊥EP于F，
则有△EFA∽△COB，
∴
EF
CO
=
AF
BO
；
对于直线y=
1
2
x+3；
当y=0时，x=-6，
则C（-6，0）；
∴OC=6；
又P点的坐标为（m，
1
2
m+3），则E（m，-
8
m
），F（m，4），
∴EF=-
8
m
-4，AF=2-m；
可得：
-
8
m
-4
6
=
2-m
3
，解得：m2-4m-4=0；
∴m1=2-2
2
，m2=2+2
2
；
∴m=2-2
2
；
∴
1
2
m+3=4-
2

∴P(2-2
2
，4-
2
)．
综上所述，存在点P（-2，2）或（2-2
2
，4-
2
），使得以P、E、A为顶点的三角形与△BOC相似．
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点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定，要注意（3）在相似形中需根据对应关系分情形讨论．
练习册系列答案
相关题目
16、如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C、下列结论错误的是（　　）
精英家教网如图，已知点C为反比例函数y=-
6x
上的一点，过点C向坐标轴引垂线，垂足分别为A、B，那么四边形AOBC的面积为
 
．
精英家教网如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为（　　）
A、
3
2
B、
2π
3
-
3
C、2
3
D、4
3
如图，已知点D为△ABC中AC边上一点，且AD：DC=3；4，设
BA
=
a
，
BC
= 
b
．
（1）在图中画出向量
BD
分别在
a
，
b
方向上的分向量；
（2）试用
a
，
b
的线性组合表示向量
BD
．
如图，已知点C为AB上一点，AC=12cm，CB=
23
AC，D、E分别为AC、AB的中点．
（1）图中共有
10
10
线段．
（2）求DE的长．

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