题目内容
【题目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；
（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN＝
AM．
【答案】（1）
﹣
；（2）证明见解析；（3）见解析
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD=BD=DC=，求出∠MBD=30°，根据勾股定理计算即可；
（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；
（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到BE=AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．
解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵AB＝2，
∴AD＝BD＝DC＝，
∵∠AMN＝30°，
∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠MBD＝30°，
∴BM＝2DM，
由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（）2，
解得，DM＝，
∴AM＝AD﹣DM＝﹣；
（2）∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中
∴△BDE≌△ADF（ASA）
∴BE＝AF；
（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，
∴∠AME＝90°，
则AE＝AM，∠E＝45°，
∴ME＝MA，
∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，
∴∠BME＝∠AMN，
在△BME和△NMA中
∴△BME≌△AMN（ASA），
∴BE＝AN，
∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝AM．
