题目内容
如图,一次函数y=-2x+t(t>0)的图象与x轴,y轴分别交于点C,D.
(1)求点C,点D的坐标;
(2)已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点,若以点C,点D为直角顶点的△PCD与△OCD相似.求t的值及对应的点P的坐标.
(1)求点C,点D的坐标;
(2)已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点,若以点C,点D为直角顶点的△PCD与△OCD相似.求t的值及对应的点P的坐标.
(1)对于一次函数y=-2x+t,
令y=0,求出x=
,令x=0,求出y=t,
∴C坐标为(
,0),D坐标为(0,t);
(2)由(1)得:OD=t,OC=
,
在Rt△OCD中,根据勾股定理得:CD=
=
,
以D为直角顶点的△PCD与△OCD相似,此时∠CDP=90°,
过P作PM⊥y轴,PN⊥x轴,如图中红线所示:
若PD:DC=OC:OD=1:2,则PD=
,
设P(x,-x2+3x),
∴PM=ON=x,PN=OM=-x2+3x,MD=-x2+3x-t,
在Rt△PMD中,根据勾股定理得:PD2=PM2+MD2,
∴(
)2=x2+(-x2+3x-t)2,①
又CN=ON-OC=x-
,
∴在Rt△PDC与Rt△PCN中,利用勾股定理得:PC2=PD2+CD2=PN2+CN2,
∴(
)2+(
)2=(-x2+3x)2+(x-
)2,②
联立①②解得:x=
,t=1,
∴此时P坐标为(
,
);
若DC:PD=OC:OD=1:2时,如图所示,同理可以求得t=1,P(2,2),
若以C为直角顶点时,△PCD与△OCD相似,此时∠DCP=90°时,同理可得t=
,P(
,
),
综上,当t=1时,对应的P坐标为(
,
)或(2,2)或P(
,
)
令y=0,求出x=
t |
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∴C坐标为(
t |
2 |
(2)由(1)得:OD=t,OC=
t |
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在Rt△OCD中,根据勾股定理得:CD=
OD2+OC2 |
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以D为直角顶点的△PCD与△OCD相似,此时∠CDP=90°,
过P作PM⊥y轴,PN⊥x轴,如图中红线所示:
若PD:DC=OC:OD=1:2,则PD=
| ||
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设P(x,-x2+3x),
∴PM=ON=x,PN=OM=-x2+3x,MD=-x2+3x-t,
在Rt△PMD中,根据勾股定理得:PD2=PM2+MD2,
∴(
| ||
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又CN=ON-OC=x-
t |
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∴在Rt△PDC与Rt△PCN中,利用勾股定理得:PC2=PD2+CD2=PN2+CN2,
∴(
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t |
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联立①②解得:x=
1 |
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∴此时P坐标为(
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若DC:PD=OC:OD=1:2时,如图所示,同理可以求得t=1,P(2,2),
若以C为直角顶点时,△PCD与△OCD相似,此时∠DCP=90°时,同理可得t=
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综上,当t=1时,对应的P坐标为(
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