题目内容
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形OACB的边OA,OB分别在x轴上和y轴上,线段OA,OB的长分别是一元二次方程x2-18x+72=0的两个根,且OA>OB;点P从点O开始沿OA边匀速移动,点M从点B开始沿BO边匀速移动.如果点P,点M同时出发,它们移动的速度相同,设OP=x(0≤x≤6),设△POM的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)连接矩形的对角线AB,当x为何值时,以P,O,M为顶点的三角形与△AOB相似;
(3)当△POM的面积最大时,将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM,试判断D点是否在矩形的对角线AB上,请说明理由.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)连接矩形的对角线AB,当x为何值时,以P,O,M为顶点的三角形与△AOB相似;
(3)当△POM的面积最大时,将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM,试判断D点是否在矩形的对角线AB上,请说明理由.
(1)解二次方程x2-18x+72=0得,x1=6,x2=12,根据题意知,OA=12,OB=6.
S△POM=
×OM×OP=
×(6-x)•x=-
x2+3x,
即y=-
x2+3x.
(2)主要考虑有两种情况,一种是△MOP∽△BOA,
那么有
=
,即,
=
,解得,x=4;
一种是△POM∽△BOA,
那么有
=
,即,
=
,解得,x=2,
所以当x=2或x=4时,以P、O、M为顶点的三角形与△AOB相似.
(3)由(1)得,y=-
x2+3x,可以知道,当x=-
=3时,y有最大值.
即OP=3,
∵OP=3,
∴OM=6-x=3,
∴△MOP是等腰直角三角形.根据题意,
以对角线MP为对称轴得到△MDP与△MOP全等,且四边形MOPD是正方形,
所以DM=3,MD∥OA,
若D在对角线AB上,必须有
=
,
即,DM=
×OA=
×12=6,
∵DM=6≠3,
∴点D不在对角线AB上.
S△POM=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
即y=-
1 |
2 |
(2)主要考虑有两种情况,一种是△MOP∽△BOA,
那么有
OP |
OA |
OM |
OB |
x |
12 |
6-x |
6 |
一种是△POM∽△BOA,
那么有
OP |
OB |
OM |
OA |
x |
6 |
6-x |
12 |
所以当x=2或x=4时,以P、O、M为顶点的三角形与△AOB相似.
(3)由(1)得,y=-
1 |
2 |
b |
2a |
即OP=3,
∵OP=3,
∴OM=6-x=3,
∴△MOP是等腰直角三角形.根据题意,
以对角线MP为对称轴得到△MDP与△MOP全等,且四边形MOPD是正方形,
所以DM=3,MD∥OA,
若D在对角线AB上,必须有
BM |
OB |
DM |
OA |
即,DM=
BM |
OB |
3 |
6 |
∵DM=6≠3,
∴点D不在对角线AB上.
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