Question

【题目】如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连结并延长BB'、C'C相交于点P，其中∠ABC＝30°，BC＝4．

（1）若记B'C'中点为点D，连结PD，则PD＝_____；

（2）若记点P到直线AC'的距离为d，则d的最大值为_____．

Answer 1

【答案】2. 2+．

【解析】

（1）由旋转的性质得出AC′＝AC，AB'＝AB，∠C'AC＝∠B'AB，由等腰三角形的性质得出∠ACC'＝∠AC'C，∠ABB'＝∠AB'B，得出∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，由三角形内角和定理和四边形内角和定理得出∠BPC'＝90°，由直角三角形的性质即可得出PD＝B′C'＝2；

（2）连接AD，作DE⊥AC'于E，证明△ADC'是等边三角形，得出AC'＝AD＝2，由等边三角形的性质得出AE＝AC'＝1，DE＝AE＝，当P、D、E三点共线时，点P到直线AC'的距离d最大＝PD+DE＝2+．

解：（1）由旋转的性质得：AC＝AC，AB'＝AB，∠C'AC＝∠B'AB，

∴∠ACC'＝∠AC'C，∠ABB'＝∠AB'B，

∴∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，

∵∠B'AB+∠ABB'+∠AB'B＝180°，∠B'AB+∠BAC+∠ABB'+∠AC'C+∠BPC'＝360°，

∴∠BPC'＝90°，

∵D为B'C'中点，

∴PD＝B′C'＝2；

故答案为：2；

（2）连接AD，作DE⊥AC'于E，如图所示：

∵AB'C'＝∠ABC＝30°，

∴∠AC'B′＝60°，

∵∠D为B'C'中点，

∴AD＝B′C'＝DC'，

∴△ADC'是等边三角形，

∴AC'＝AD＝2，

∵DE⊥AC'，

∴AE＝AC'＝1，DE＝AE＝，

当P、D、E三点共线时，点P到直线AC'的距离d最大＝PD+DE＝2+；

故答案为：2+．