Question

如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC和BE相交于点O．
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似．

Answer 1

分析：（1）四边形ABCE是菱形．由平移得到四边形ABCE是平行四边形，又AB=BC，可以推出四边形ABCE是菱形；
（2）①四边形PQED的面积不发生变化．根据菱形的性质和已知条件可以求出菱形的面积，过A作AH⊥BD于H，再根据三角形的面积公式可以求出AH，由菱形的对称性知△PBO≌△QEO，所以BP=QE，现在可以得到S_{四边形PQED}=S_△BED，而S_△BED的面积可以求出，所以四边形PQED的面积不发生变化．
②如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，即∠2=∠1，∴OP=OC=3，过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，根据相似三角形的对应线段成比例可以求出CG，而PB=BC-PC=BC-2CG，根据这个等式就可以求出BP的长．

解答：解：（1）四边形ABCE是菱形．
∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，
∴EC∥AB，且EC=AB，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCE是菱形；

（2）①四边形PQED的面积不发生变化．
方法一：∵ABCE是菱形，
∴AC⊥BE，OC=

1

2

AC=3，
∵BC=5，
∴BO=4，
过A作AH⊥BD于H，（如图1）．
∵S_△ABC=

1

2

BC×AH=

1

2

AC×BO，
即：

1

2

×5×AH=

1

2

×6×4，
∴AH=

24

5

．
或∵∠AHC=∠BOC=90°，∠BCA公用，
∴△AHC∽△BOC，
∴AH：BO=AC：BC，
即：AH：4=6：5，
∴AH=

24

5

．
由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，
∴BP=QE，
∴S_{四边形PQED}=

1

2

（QE+PD）×QR=

1

2

（BP+PD）×AH=

1

2

BD×AH
=

1

2

×10×

24

5

=24．
方法二：由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，
∴S_△PBO=S_△QEO，
∵△ECD是由△ABC平移得到的，
∴ED∥AC，ED=AC=6，
又∵BE⊥AC，
∴BE⊥ED，
∴S_{四边形PQED}=S_△QEO+S_{四边形POED}=S_△PBO+S_{四边形POED}=S_△BED
=

1

2

×BE×ED=

1

2

×8×6=24．

②方法一：如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3，
∴∠2不与∠3对应，
∴∠2与∠1对应，
即∠2=∠1，
∴OP=OC=3
过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，
∴△OGC∽△BOC，
∴CG：CO=CO：BC，
即：CG：3=3：5，
∴CG=

9

5

，
∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×

9

5

=

7

5

．

方法二：如图3，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3，
∴∠2不与∠3对应，
∴∠2与∠1对应，
∴QR：BO=PR：OC，即：

24

5

：4=PR：3，
∴PR=

18

5

，
过E作EF⊥BD于F，设PB=x，则RF=QE=PB=x，
DF=

ED2-EF2

=

18

5

，
∴BD=PB+PR+RF+DF=x+

18

5

+x+

18

5

=10，x=

7

5

．

方法三：如图4，若点P在BC上运动，使点R与C重合，
由菱形的对称性知，O为PQ的中点，
∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线，
∴CO=PO，
∴∠OPC=∠OCP，
此时，Rt△PQR∽Rt△CBO，
∴PR：CO=PQ：BC，
即PR：3=6：5，
∴PR=

18

5

∴PB=BC-PR=5-

18

5

=

7

5

．

点评：此题主要考查了图形变换，把图形的变换放在平行四边形，菱形的背景之中，利用特殊四边形的性质探究图形变换的规律．