Question

如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象与x轴交于点A（-1，0）、点C，与y轴交于点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标，并求出△ABP周长的最小值；
（3）在线段AC上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）根据题意，得

0=a×(-1)2-4×(-1)+c -5=a×02-4××0+c

，
解得

a=1 c=-5

，
故二次函数的表达式为y=x²-4x-5；

（2）令y=0，得二次函数y=x²-4x-5的图象与x轴
的另一个交点坐标C（5，0）．
由于P是对称轴x=2上一点，
连接AB，由于AB=

OA2+BO2

=

26

，
要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小．
由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，
则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC．
因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点．
设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意，可得：

b=-5 0=5k+b

，
解得

k=1 b=-5

，
所以直线BC的解析式为y=x-5．
因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组的解，
解得

x=2 y=-3

，
所求的点P的坐标为（2，-3）．

（3）存在．
∵A（-1，0），C（5，0），
∴AC=6，
∵P（2，-3），C（5，0），
∴PC=3

2

，
∵B（0，-5），C（5，0），
∴BC=5

2

，
当△PEC∽△ABC，
∴

EC

BC

=

PC

AC

，
∴

EC

5 2

=

3 2

6

，
解得：EC=5，
∴E（0，0）；
当△EPC∽△ABC，
∴

EC

AC

=

PC

BC

，
∴

EC

6

=

3 2

5 2

，
解得：EC=3.6，
∴OE=5-3.6=1.4，
故E点坐标为：（1.4，0），
综上所述：以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：（0，0），（1.4，0）．