题目内容
【题目】(2016·枣庄中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝
－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形时点P的坐标．
【答案】(1) y＝x＋3 (2) (－1，2) (3) (－1，－2)或(－1，4)或
或
解：(1)依题意得
解得
∴抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.∵对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，∴点B的坐标为(－3，0)．把B(－3，0)，C(0，3)分别代入直线y＝mx＋n，得
解得
∴直线BC的解析式为y＝x＋3；
(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝－1代入y＝x＋3得y＝2，∴点M的坐标为(－1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时点M的坐标为(－1，2)；
(3)设点P的坐标为(－1，t)．又∵点B的坐标为(－3，0)，点C的坐标为(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝
，t2＝
.综上所述，点P的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或
或
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【解析】试题分析：（1）.先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，联立得到方程组求解即可得出a，b，c的值，从而得到抛物线解析式；
把B、C两点的坐标代入直线y=mx＋n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）.设直线BC与对称轴x＝1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小，把x=1代入直线y=x＋3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）.设P（1，t），又因为B（3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2=(1＋3)2＋t2=4＋t2，PC2=(1)2＋(t3)2=t26t＋10，分别以B、P、C为直角顶点三种情况讨论求出符合题意的t值即可求出点P的坐标．
解：(1)依题意得
解得
∴抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.∵对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，∴点B的坐标为(－3，0)．把B(－3，0)，C(0，3)分别代入直线y＝mx＋n，得
解得
∴直线BC的解析式为y＝x＋3；
(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝－1代入y＝x＋3得y＝2，∴点M的坐标为(－1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时点M的坐标为(－1，2)；
(3)设点P的坐标为(－1，t)．又∵点B的坐标为(－3，0)，点C的坐标为(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝
，t2＝
.综上所述，点P的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或
或
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