题目内容

【题目】将边长OA=8,OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中,顶点O为原点,顶点CA分别在轴和y轴上.在OA边上选取适当的点E,连接CE,将△EOC沿CE折叠.

(1)如图①,当点O落在AB边上的点D处时,点E的坐标为

(2)如图②,当点O落在矩形OABC内部的点D处时,过点EEG轴交CD于点H,交BC于点G. 求证:EHCH

(3)如图③,将矩形OABC变为正方形,OC=10,当点EAO中点时,点O落在正方形OABC内部的点D处,延长CDAB于点T,求此时AT的长度.

【答案】(1)(0,5);(2)证明见解析;(3)2.5.

【解析】试题分析:(1)根据翻折变换的性质以及勾股定理得出BD的长,进而得出AE,EO的长即可得出答案;

(2)利用平行线的性质以及等角对等边得出答案即可;

(3)首先得出Rt△ATE≌Rt△DTE进而得出AT=DT.设AT=x,则BT=10-x,TC=10+x,在Rt△BTC中,BT2+BC2=TC2,求出即可.

试题解析:(1)∵将边长OA=8,OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中,点O落在AB边上的点D处,

∴OC=DC=10,

∵BC=8,

BD==6

∴AD=10-6=4,

设AE=x,则EO=8-x,

∴x2+42=(8-x)2

解得:x=3,

∴AE=3,

则EO=8-3=5,

∴点E的坐标为:(0,5)

故答案为:(0,5);

(2)∵EG∥x轴,∴∠OCE=∠CEH,

由折叠可知∠OCE=∠ECH,

∴∠CEH=∠ECH,

∴EH=CH;

(3)连接ET

由题意可知,EDEOEDTCDCOC=10,

EAO中点,∴AEEO,

AEED,

Rt△ATERt△DTE中,

∴Rt△ATE≌Rt△DTE(HL),

ATDT,

,则

RtBTC中, ,

解得,即.

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