题目内容
【题目】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,连接AF、BE交于点G,连接CE、DF交于点H.
(1)求证:四边形EGFH为平行四边形;
(2)当= 时,四边形EGFH为矩形。
【答案】(1)见解析;
(2)当时,平行四边形EGFH是矩形,理由见解析.
【解析】
(1)可分别证明四边形AFCE是平行四边形,四边形BFDE是平行四边形,从而得出GF∥EH,GE∥FH,即可证明四边形EGFH是平行四边形.
(2)证出四边形ABFE是菱形,得出AF⊥BE,即∠EGF=90°,即可得出结论.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵点E. F分别是AD、BC的中点
∴AE=ED=AD,BF=FC=BC,
∴AE∥FC,AE=FC.
∴四边形AECF是平行四边形.
∴GF∥EH.
同理可证:ED∥BF且ED=BF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
∴GE∥FH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)当时,平行四边形EGFH是矩形.理由如下:
连接EF,如图所示:
由(1)同理可证四边形ABFE是平行四边形,
当时,即BC=2AB,AB=BF,
∴四边形ABFE是菱形,
∴AF⊥BE,即∠EGF=90,
∴平行四边形EGFH是矩形.
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