题目内容

【题目】如图,已知四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点,连接DE,过点EEFDE,交射线BC于点F,以DEEF为邻边作矩形DEFG,连接CG

(1)求证:矩形DEFG是正方形。

(2)当点EA点运动到C点时;

①求证:∠DCG的大小始终不变;

②若正方形ABCD的边长为2,则点G运动的路径长为

【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;②

【解析】

1)要证明矩形DEFG为正方形,只需要证明它有一组临边(DEEF)相等即可,而要证明两条线段相等,需证明它们所在的三角形全等,如下图本小题的关键是证明△EMF≌△END,∠MEF=∠NED可用等角的余角证明,EM=EN可用角平分线上的点到角两边距离相等,∠EMF和∠END为一组直角相等,所以可以用ASA证明它们全等;

(2)此类题,前面的问题是给后面做铺垫,第一问已经证明四边形DEFG为正方形,结合第一问我们很容易发现并证明ADECDG,从而得到∠DCG=∠CAD=45°

3)当当E点在A处时,点G在C处;当E点在C处时,点G在AD的延长线上,并且AD=DG,以CD为边作正方形,我们会发现G点的运动轨迹刚好是正方形的对角线,它的长度等于.

证明:(1)

EM⊥BC,EN⊥CD,

∵四边形ABCD为正方形

∴∠DCB=90°,∠ACB=∠ACD=45°

又∵EM⊥BC,EN⊥CD

∴EM=EN(角平分线上的点到角两边距离相等),

∠MEN=90°,

∴∠MEF+∠NEF=90°,

∵四边形DEFG为矩形,

∴∠DEF=90°,

∴∠NED+∠NEF=90°,

∴∠MEF=∠NED,

在△EMF和△END中

∴△EMF≌△END,

∴DE=DF,

∴矩形DEFG为正方形;

(2)①证明:∵正方形ABCD、DEFG

AD=CDED=GD

∵∠ADE+DEC=90°,∠CDG+EDC=90°

∴∠ADE=CDG

在△ADE和△CDG中,

AD=CD,∠ADE=CDGED=GD

ADECDG

∴∠DCG=EAD=45°

∴∠DCG的大小始终保持不变

以CD为边作正方形DCPQ,连接QC

∴∠DCQ=45°,

又∵∠DCG=45°

∴C、G、Q在同一条直线上,

当E点在A处时,点G在C处;当E点在C处时,点G在Q处,

∴G点的运动轨迹为QC,

∵正方形ABCD的边长为2

所以QC=

即点G运动的路径长为

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网