题目内容
【题目】如图，在
中，
，
为
边上的中线，
∥，且
,连接
.
（1）求证：四边形
为菱形；
（2）连接
，若平分
，
，求的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由中线的定义和已知可得到AE=CD，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ADCE为平行四边形，由∠BAC=90°，AD为BC边上的中线，得到AD=
BC=CD．即可得到四边形ADCE为菱形．
（2）连接BE与AD相交于点O．由角平分线的性质和平行线的性质可得到AB=AE，由BD=BC=AE，得到AB=BD，由等腰三角形三线合一的性质得到∠BOD=90°．由AD∥CE，得到∠BEC=∠BOD=90°．在△BEC中，由勾股定理即可得出结论．
（1）∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD=BC．
∵AE=BC，∴AE=CD．
∵AE∥BC，∴四边形ADCE为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∵∠BAC=90°，AD为BC边上的中线，∴AD=BC=CD，
∴四边形ADCE为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
（2）连接BE与AD相交于点O．
∵若BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE ．
∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE．
∵BD=BC=AE，∴AB=BD，∴∠BOD=90°．
∵四边形ADCE为菱形，AE=2，∴AD=DC=CE=AE=2，BC=4．
∵AD∥CE，∴∠BEC=∠BOD=90°，∴
．
【题目】列方程解应用题：五莲县新玛特购物中心第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的
倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：获利=售价﹣进价）
甲 | 乙 | |
进价（元/件） | 20 | 30 |
售价（元/件） | 29 | 40 |
（1）新玛特购物中心将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（2）该购物中心第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得总利润比第一次获得的总利润多160元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？
