Question

【题目】已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB,

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋x－3；（2）13.5；（3）存在，P1（-3，-3），P2（，3），P3（ ，3）．

【解析】

（1）根据OC=3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，-3），把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，求出a点坐标即可求出函数解析式；
（2）过点D作DE∥y轴分别交线段AC于点E．设D（m，m2+2m-3），然后求出DE的表达式，把S四边形ABCD分解为S△ABC+S△ACD，转化为二次函数求最值；
（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，由题意可知点P2、P3的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．

（1）∵B的坐标为（1，0），
∴OB=1．
∵OC=3OB=3，点C在x轴下方，
∴C（0，-3）．
∵将B（1，0），C（0，-3）代入抛物线的解析式得：

，解得：a=，C=-3，
∴抛物线的解析式为y=x-3．
（2）如图1所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．

∵x=-=-，B（1，0），
∴A（-4，0）．
∴AB=5．
∴S△ABC=ABOC=×5×3=7.5．
设AC的解析式为y=kx+b．
∵将A（-4，0）、C（0，-3）代入得：

，解得：k=-，=-3，
∴直线AC的解析式为y=-x-3．
设D（a，a2+a-3），则E（a，-a-3）．
∵DE=-（a+2）2+3，
∴当a=-2时，DE有最大值，最大值为3．
∴△ADC的最大面积=DEAO=×3×4=6．
∴四边形ABCD的面积的最大值为13.5．
（3）存在．
①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．

∵C（0，-3），令x-3=-3，
∴x1=0，x2=-3．
∴P1（-3，-3）．
②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC=P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC=P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．
∵C（0，-3），
∴P2，P3的纵坐标均为3．
令y=3得：x-3=3，解得；x1=，x2=．
∴P2（，3），P3（，3）．
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（-3，-3），P2（，3），P3（ ，3）．