题目内容

如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD
(1)试说明CE=CF.
(2)△BCE与△DCF全等吗?试说明理由.
(3)若AB=21,AD=9,BC=CD=10,求CE的长.

解(1)∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,
∴CE=CF.

(2)△BCE≌△DCF.
理由是:
∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴△BCE与△DCF都是直角三角形,
在Rt△BEC和Rt△DFC中

∴Rt△BEC≌Rt△DFC(HL);

(3)∵Rt△BEC≌Rt△DFC,
∴BE=DF,
∵CF⊥AF,CE⊥AB,
∴∠F=∠CEA=90°,
∵AC平分∠BAF,
∠FAC=∠EAC,
在△FAC和△EAC中

∴△FAC≌△EAC(AAS),
∴AE=AF,
设BE=x,则AE=21-x,DF=x,AF=9+x,
∴21-x=9+x,
∴x=6,即BE=6,
在Rt△BCE中,∵BC=10,BE=6,
∴由勾股定理得:CE=8.
分析:(1)根据角平分线性质推出即可;
(2)根据HL证出两直角三角形全等即可;
(3)根据全等三角形性质推出AF=AE,DF=BE,设BE=x,则AE=21-x,DF=x,AF=9+x,得出方程21-x=9+x,求出BE,根据勾股定理求出CE即可.
点评:本题考查了全等三角形的性质和角平分线定义,注意:全等三角形的对应角相等,对应边相等,直角三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.
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