Question

通常，我们把长方形和正方形统称为矩形．如图1，是一个长为2a，宽为2b的矩形ABCD，若把此矩形沿图中的虚线用剪刀均分为4块小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形MNPQ．
（1）分别从整体和局部的角度出发，计算图2中阴影部分的面积，可以得到等式　_________　．
（2）仔细观察长方形ABCD与正方形MNPQ，可以发现它们的　_________　相同，　_________　不同．（选填“周长”或“面积”）
（3）根据上述发现，猜想结论：用总长为36米的篱笆围成一个矩形养鸡场，可以有许多不同的围法．在你围的所有矩形中，面积最大的矩形的面积是　_________　米²．

Answer 1

（1）（a+b）²﹣（a﹣b）²=4ab；（2）周长，面积；（3）81．

试题分析：（1）整体上求出内部的小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积就是阴影部分的面积，从局部考虑，求出四个小矩形的面积就是阴影部分的面积；
（2）从图2的面积比图1的面积大里面小正方形的面积考虑；
（3）根据（2）的结论，周长相等的情况下，正方形的面积比矩形的面积大，所以围成的正方形的面积最大，然后根据正方形进行计算即可．
解：（1）整体考虑：里面小正方形的边长为a﹣b，
∴阴影部分的面积=（a+b）²﹣（a﹣b）²，
局部考虑：阴影部分的面积=4ab，
∴（a+b）²﹣（a﹣b）²=4ab；
（2）图1周长为：2（2a+2b）=4a+4b，
面积为：4ab，
图2周长为：4（a+b）=4a+4b，
面积为（a+b）²=4ab+（a﹣b）²≥4ab，
当且仅当a=b时取等号；
∴周长相同，面积不相同；
（3）根据（2）的结论，围成正方形时面积最大，
此时，边长为36÷4=9米，
面积=9²=81米²．
故答案为：（1）（a+b）²﹣（a﹣b）²=4ab；（2）周长，面积；（3）81．
点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，结合图形的特点，根据面积找出里面的规律是解题的关键．