Question

如图，矩形ABOC的边OB，OC分别在坐标轴上，将矩形ABOC绕原点O顺时针旋转90°后，得到的矩形为DEOF．已知点A的坐标为（-2，m），反比例函数的图象（第一象限）经过线段DF的中点M，且满足m+n=6．
（1）求m，n的值；
（2）求直线CM的函数解析式；
（3）设直线CM交DE于点N，请判断点N是否在反比例函数的图象上（写出理由）．

Answer 1

解：（1）∵将矩形ABOC绕原点O顺时针旋转90°后，得到的矩形为DEOF，点A的坐标为（-2，m），
∴AC=BO=OE=DF=2，CO=OF=m，
∵反比例函数的图象（第一象限）经过线段DF的中点M，
∴M点的纵坐标为1，横坐标为：m，
∵M在反比例函数的图象上，
∴xy=n=m，
∵m+n=6，
∴m=3，n=3；

（2）∵m=3，
∴C点坐标为：（0，3），M点坐标为：（3，1），
假设直线CM的函数解析式为：y=kx+b，
将C，M代入解析式得：
，
解得：，
故直线CM的函数解析式为：；

（3）∵DE是平行于x轴的直线，且过（0，2）点，故直线DE可以表示为：y=2，
∴直线CM与直线DE交点N的坐标求法应该是将两直线解析式联立，求出公共解集，
故，
解得：，
故N点的坐标为：（，2），
∵×2=3，
∴点N在y=上．
分析：（1）由点A的坐标为（-2，m），得出矩形中AC=BO=OE=DF=2，再由反比例函数的图象（第一象限）经过线段DF的中点M，得出M点的纵坐标为1，利用反比例函数的性质得出m，n的关系，进而求出m，n．
（2）根据m，n的值即可求出C，M点的坐标，进而利用待定系数法求出直线解析式即可；
（3）利用两直线交点求法得出N点坐标，再代入反比例函数解析式即可得出点N是否在图象上．
点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，根据M点的坐标以及反比例函数的性质xy=n，求出m=n是解决问题的关键．