题目内容

【题目】如图,反比例y=的图象与一次函数y=kx﹣3的图象在第一象限内交于A(4,a).

(1)求一次函数的解析式;

(2)若直线x=n(0<n<4)与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B,C,连接AB,若△ABC是等腰直角三角形,求n的值.

【答案】(1)y=x﹣3(2)1

【解析】

(1)由已知先求出a,得出点A的坐标,再把A的坐标代入一次函数y=kx-3求出k的值即可求出一次函数的解析式;

(2)易求点B、C的坐标分别为(n,),(n,n-3).设直线y=x-3x轴、y轴分别交于点D、E,易得OD=OE=3,那么∠OED=45°.根据平行线的性质得到∠BCA=OED=45°,所以当ABC是等腰直角三角形时只有AB=AC一种情况.过点AAFBCF,根据等腰三角形三线合一的性质得出BF=FC,依此得出方程-1=1-(n-3),解方程即可.

(1)∵反比例y=的图象过点A(4,a),

a==1,

A(4,1),

A(4,1)代入一次函数y=kx﹣3,得4k﹣3=1,

k=1,

∴一次函数的解析式为y=x﹣3;

(2)由题意可知,点B、C的坐标分别为(n,),(n,n﹣3).

设直线y=x﹣3x轴、y轴分别交于点D、E,如图,

x=0时,y=﹣3;当y=0时,x=3,

OD=OE,

∴∠OED=45°.

∵直线x=n平行于y轴,

∴∠BCA=OED=45°,

∵△ABC是等腰直角三角形,且0<n<4,

∴只有AB=AC一种情况,

过点AAFBCF,则BF=FC,F(n,1),

﹣1=1﹣(n﹣3),

解得n1=1,n2=4,

0<n<4,

n2=4舍去,

n的值是1.

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