题目内容
【题目】（问题背景）
（1）如图1，等腰
中，
，
，则
______；
（知识应用）
（2）如图2，和
都是等腰三角形，
，
、
、
三点在同一条直线上，连接
.
①求证：
；
②请写出线段
，，
之间的等量关系式，并说明理由？
（3）如图3，
和
均为等边三角形，在
内作射线
，作点关于的对称点，连接
并延长交于点
，连接
，
.若
，
，求
的长.
【答案】（1）
；（2）①见解析；②
；理由见解析；（3）
【解析】
（1）由等腰三角形的性质和锐角三角函数即可得解；
（2）①根据等腰三角形的性质，找出AD=AE，∠DAB=∠EAC ，AB=AC，即可得证；②由全等三角形的性质得出BD=CE，再由（1）中的结论得出
，即可得出等量关系；
（3）正确作辅助线，连接BE，作BG⊥AE，由对称性证得△EFC为等边三角形，然后构造直角三角形，求出∠GFB=30°，利用三角函数即可得解.
（1）作AD⊥BC，如图所示：
∵
，
，
∴∠ABC=∠ACB=30°，BD=CD=
BC
∴在Rt△ABD中，
∴
∴
（2）①∵
和
都是等腰三角形，
∴AD=AE，AB=AC，
∵
，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE
∴∠DAB=∠EAC
∴
（SAS）
②
理由：由①中，得BD=CE
∵是等腰三角形，∠DAE=120°
∴由（1）中结论得知，
∵
∴
（3）连接BE，作BG⊥AE于点G，如图所示：
∵
和
均为等边三角形，
∴四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°
∵C、E关于BM对称
∴BE=BC，FE=FC，∠EBF=∠CBF，∠EFB=∠CFB
∴AB=BC=BE
∵BG⊥AE
∴AG=GE，∠ABG=∠GBE
∴∠GBF=∠GBE+∠EBF=∠ABC=60°
∴∠EFB=∠CFB=30°，即∠EFC=60°
∴△CEF为等边三角形
∴EF=CE=1
∵AE=4
∴GE=2
∴GF=GE+EF=2+1=3
∴在Rt△GBF中，∠GFB=30°，
【题目】某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”该公司共有10个部门，且各部门的人数相同.为了解午餐的浪费情况，从这10个部门中随机抽取了
两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.
部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：
，
，
，
）：
.部门每日餐余重量在这一组的是：6.1 6.6 7.0 7.0 7.0 7.8
.
部门每日餐余重量如下：1.4 2.8 6.9 7.8 1.9 9.7 3.1 4.6 6.9 10.8 6.9 2.6 7.5 6.9 9.5 7.8 8.4 8.3 9.4 8.8
. 两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：
部门 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| 6.4 | | 7.0 |
| 6.6 | 7.2 | |
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表
中的值；
（2）在这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是________（填“”或“”），理由是____________；
（3）结合这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余总重量.
