题目内容

【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8EBC边上的一点,将矩形ABCD沿折痕AE折叠,使得顶点B落在CD边上的点P处,PC=4(如图1).

1)求AB的长;

2)擦去折痕AE,连结PB,设M是线段PA的一个动点(点M与点PA不重合).NAB沿长线上的一个动点,并且满足PM=BN.过点MMH⊥PB,垂足为H,连结MNPB于点F(如图2).

MPA的中点,求MH的长;

试问当点MN在移动过程中,线段FH的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段FH的长度.

【答案】(1)10;(2.

【解析】试题分析:(1)设AB=x,根据折叠可得AP=CD=xDP=CD-CP=x-4,利用勾股定理,在Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,即82+x-42=x2,即可解答;

2过点AAGPB于点G,根据勾股定理求出PB的长,由AP=AB,所以PG=BG=PB=,在RtAGP中,AG=

AGPBMHPB,所以MHAG,根据MPA的中点,所以HPG的中点,根据中位线的性质得到MH=AG=

MQAN,交PB于点Q,求出MP=MQBN=QM,得出MP=MQ,根据MHPQ,得出HQ=PQ,根据QMF=BNF,证出MFQ≌△NFB,得出QF=QB,再求出EF=PB,最后代入HF=PB即可得出线段EF的长度不变.

试题解析:(1)设AB=x,则AP=CD=xDP=CD-CP=x-4

Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2

82+x-42=x2

解得:x=10

AB=10

2如图2,过点AAG⊥PB于点G

由(1)中的结论可得:PC=4BC=8∠C=90°

PB=

∵AP=AB

PG=BG=PB=

RtAGP中,AG=

∵AG⊥PBMH⊥PB

∴MH∥AG

∵MPA的中点,

∴HPG的中点,

MH=AG=

当点MN在移动过程中,线段FH的长度是不发生变化;

MQ∥AN,交PB于点Q,如图3

∵AP=ABMQ∥AN

∴∠APB=∠ABP=∠MQP

∴MP=MQ

∵BN=PM

∴BN=QM

∵MP=MQMH⊥PQ

EQ=PQ

∵MQ∥AN

∴∠QMF=∠BNF

△MFQ△NFB中,

∴△MFQ≌△NFBAAS).

QF=QB

HF=HQ+QF=PQ+QB=PB=

当点MN在移动过程中,线段FH的长度是不发生变化,长度为

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