题目内容
【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8,E是BC边上的一点,将矩形ABCD沿折痕AE折叠,使得顶点B落在CD边上的点P处,PC=4(如图1).
(1)求AB的长;
(2)擦去折痕AE,连结PB,设M是线段PA的一个动点(点M与点P、A不重合).N是AB沿长线上的一个动点,并且满足PM=BN.过点M作MH⊥PB,垂足为H,连结MN交PB于点F(如图2).
①若M是PA的中点,求MH的长;
②试问当点M、N在移动过程中,线段FH的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段FH的长度.
【答案】(1)10;(2); .
【解析】试题分析:(1)设AB=x,根据折叠可得AP=CD=x,DP=CD-CP=x-4,利用勾股定理,在Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,即82+(x-4)2=x2,即可解答;
(2)①过点A作AG⊥PB于点G,根据勾股定理求出PB的长,由AP=AB,所以PG=BG=PB=,在Rt△AGP中,AG=,
由AG⊥PB,MH⊥PB,所以MH∥AG,根据M是PA的中点,所以H是PG的中点,根据中位线的性质得到MH=AG=.
②作MQ∥AN,交PB于点Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根据MH⊥PQ,得出HQ=PQ,根据∠QMF=∠BNF,证出△MFQ≌△NFB,得出QF=QB,再求出EF=PB,最后代入HF=PB即可得出线段EF的长度不变.
试题解析:(1)设AB=x,则AP=CD=x,DP=CD-CP=x-4,
在Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,
即82+(x-4)2=x2,
解得:x=10,
即AB=10.
(2)①如图2,过点A作AG⊥PB于点G,
由(1)中的结论可得:PC=4,BC=8,∠C=90°,
∴PB=,
∵AP=AB,
∴PG=BG=PB=,
在Rt△AGP中,AG=,
∵AG⊥PB,MH⊥PB,
∴MH∥AG,
∵M是PA的中点,
∴H是PG的中点,
∴MH=AG=.
②当点M、N在移动过程中,线段FH的长度是不发生变化;
作MQ∥AN,交PB于点Q,如图3,
∵AP=AB,MQ∥AN,
∴∠APB=∠ABP=∠MQP.
∴MP=MQ,
∵BN=PM,
∴BN=QM.
∵MP=MQ,MH⊥PQ,
∴EQ=PQ.
∵MQ∥AN,
∴∠QMF=∠BNF,
在△MFQ和△NFB中,
,
∴△MFQ≌△NFB(AAS).
∴QF=QB,
∴HF=HQ+QF=PQ+QB=PB=.
∴当点M、N在移动过程中,线段FH的长度是不发生变化,长度为.