Question

【题目】综合与实践：

问题情境：在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B与点F重合，直线AF交直线CD于点G．

特例探究

实验小组的同学发现：

（1）如图1，当AB＝BC时，AG＝BC+CG，请你证明该小组发现的结论；

（2）当AB＝BC＝4时，求CG的长；

延伸拓展

（3）实知小组的同学在实验小组的启发下，进一步探究了当AB：BC＝时，线段AG、BC、CG之间的数量关系，请你直接写出实知小组的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）AG＝BC+CG．

【解析】

（1）连接EG,由折叠的性质可证Rt△EGF≌Rt△EGC，然后利用全等三角形的性质有FG＝GC，则结论可证；

（2）由全等三角形和折叠的性质可证△ABE∽△ECG，利用相似三角形的性质有，已知EC，则CG可求.

（3）由全等三角形的性质可知AB＝AF， FG＝GC，再利用AB、BC之间的关系即可得出答案.

解：（1）如图1中，连接EG．

∵△AEF是由△AEB翻折得到，

∴EB＝EF＝EC，AB＝AF，∠AFE＝∠B＝∠C＝90°，

在Rt△EGF和Rt△EGC，

∴Rt△EGF≌Rt△EGC（HL），

∴FG＝GC，

∵AB＝AF＝BC，

∴AG＝AF+FG＝BC+CG．

（2）∵△EGF≌△EGC，

∴∠GEF＝∠GEC，

∵∠AEB＝∠AEF，∠BEC＝180°

∴∠AEG＝90°，

∴∠AEB+∠GEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠GEC＝∠BAE，

∵∠B＝∠C，

∴△ABE∽△ECG，

∵EC＝2，

∴CG＝1．

（3）如图2中，连接EG．

∵△AEB≌△AEF，△EGF≌△EGC，

∴AB＝AF，BE＝EF＝EC，FG＝GC，

∵AB：BC＝ ：2，

∴AB＝BC，

∴AG＝AF+FG＝AB+CG＝BC+CG．

即AG＝BC+CG．