Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1 cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为2 cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s.

（1）运动几秒时，△APC是等腰三角形？

（2）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.

Answer 1

【答案】（1）运动s时，△APC是等腰三角形.（2）当运动时间为5.5 s 或6 s 或6.6 s时，△BCQ为等腰三角形.

【解析】

（1）根据题意得，AP=PC，列方程，求解即可；

（2）分BQ=BC，CQ=BC和BQ=CQ三种情况分别讨论得到关于t的方程，求出t即可．

（1）由题意可知AP=t，PC=

∵AP=PC，

∴t=，

解得，t=，

∴出发秒后△APC能形成等腰三角形；

（2）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，

当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，所以CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，

当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC，则CD=CQ=t-3，在Rt△ABC中，可求得BD=，

在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，即62=（）2+（t-3）2，

解得t=或t=-＜0（舍去）；

当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6，

当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，

∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，

∴∠A=∠QBA，

∴QB=QA，

∴CQ=AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5，

综上可知当△BCQ为等腰三角形时，t=或t=6或t=5.5．