题目内容

【题目】如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为1 cm,点Q从点B开始沿B→C方向运动,且速度为2 cm/s,它们同时出发,设运动的时间为t s.

(1)运动几秒时,△APC是等腰三角形?

(2)当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.

【答案】(1)运动s时,△APC是等腰三角形.(2)当运动时间为5.5 s 或6 s 或6.6 s时,△BCQ为等腰三角形.

【解析】

(1)根据题意得,AP=PC,列方程,求解即可;

(2)分BQ=BC,CQ=BCBQ=CQ三种情况分别讨论得到关于t的方程,求出t即可.

(1)由题意可知AP=t,PC=

AP=PC,

t=

解得,t=

∴出发秒后APC能形成等腰三角形;

(2)在ABC中,由勾股定理可求得AC=10,

当点QAC上时,AQ=BC+AC-2t=16-2t,所以CQ=AC-AQ=10-(16-2t)=2t-6,

BQ=BC=6时,如图1,过BBDAC,则CD=CQ=t-3,在RtABC中,可求得BD=

RtBCD中,由勾股定理可得BC2=BD2+CD2,即62=(2+(t-3)2

解得t=t=-<0(舍去);

CQ=BC=6时,则2t-6=6,解得t=6,

CQ=BQ时,则∠C=QBC,

∴∠C+A=CBQ+QBA,

∴∠A=QBA,

QB=QA,

CQ=AC=5,即2t-6=5,解得t=5.5,

综上可知当BCQ为等腰三角形时,t=t=6t=5.5.

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