Question

【题目】已知，在菱形ABCD中，G是射线BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AG，点E、F是AG上两点，连接DE，BF，且知∠ABF=∠AGB，∠AED=∠ABC．

（1）若点G在边BC上，如图1，则：

①△ADE与△BAF______；（填“全等”或“不全等”或“不一定全等”）

②线段DE、BF、EF之间的数量关系是______；

（2）若点G在边BC的延长线上，如图2，那么上面（1）②探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明这三条线段之间又怎样的数量关系，并给出你的证明．

Answer 1

【答案】（1）①全等；②DE=BF+EF；（2）DE=BF-EF，见解析

【解析】

(1)①根据菱形的性质得到AB=AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BGA=∠DAE，等量代换得到∠BAF=∠ADE，求得∠ABF=∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

②根据全等三角形的性质得到AE=BF，DE=AF，根据线段的和差即可得到结论．

(2)与(1)同理证△ABF≌△DAE得AE=BF，DE=AF，由AF=AE-EF=BF-EF可得答案．

(1)①∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，AD∥BC，

∴∠BGA=∠DAE，

∵∠ABC=∠AED，

∴∠BAF=180-∠ABC -∠BGA =180-∠AED -∠DAE =∠ADE，

∵∠ABF=∠BGF，∠BGA=∠DAE，

∴∠ABF=∠DAE，

∵AB=DA，

∴△ABF≌△DAE(ASA)；

②∵△ABF≌△DAE，

∴AE=BF，DE=AF，

∵AF=AE+EF=BF+EF，

∴DE=BF+EF．

故答案为：全等，DE=BF+EF；

(2)DE=BF-EF，

如图，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，AD∥BC，

∴∠BGA=∠DAE，

∵∠ABC=∠AED，

∴∠BAF=180-∠ABC -∠BGA =180-∠AED -∠DAE =∠ADE，

∵∠ABF=∠BGF，∠BGA=∠DAE，

∴∠ABF=∠DAE，

∵AB=DA，

∴△ABF≌△DAE(ASA)；

∴AE=BF，DE=AF，

∵AF=AE-EF=BF-EF，

则DE=BF-EF