题目内容
【题目】（问题提出）在数学“共生课堂”上，某合作小组提出了这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝1，PB＝2，PC＝
．你能求出∠APB的度数吗？
（问题解决）（1）李清同学分析题目后，发现以PA、PB、PC的长为边的三角形是直角三角形，他找到了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A．连接PP′，易得△P′PB是等边三角形，△P′PA是直角三角形，则得∠BPP′＝_________，∠APB＝_________．
（问题类比）（2）同组的祁响同学突然想起曾经解决过的一个问题：如图3，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．求∠APB的度数．请你写出解答过程．
（问题延伸）（3）夏老师留了一个思考题：如图4，若点P是正方形ABCD外一点，PA=，PB=1，PC=
．则∠APB的度数．请你写出解答过程．
【答案】（1）60°，150°；（2）∠APB＝135°，见解析；（3）∠APB＝45°，见解析
【解析】
（1）将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，则有
，
，
，
，可得
是等边三角形，则有
，
，可证
是直角三角形，利用
可得答案．
（2）将
绕点
逆时针旋转
，得到△
，连接
，则，
，，
，可得
，根据勾股定理得，
，可以证得
，即
是直角三角形，且
，
利用
可得答案．
（3）将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则，
，
，，，根据勾股定理得，
，可证得，即是直角三角形，且，
利用
可得答案．
解：（1）将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，
则有，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴
∴是直角三角形，
∴
，
∴
；
（2）如图示，将绕点逆时针旋转，得到△，连接，
则，，，
，
根据勾股定理得，，
，
，
又
，
，
是直角三角形，且，
．
（3）如图示，将绕点逆时针旋转，得到△，连接．
则，，，
，
根据勾股定理得，，
，
，
又
，
，
是直角三角形，且，
．
