题目内容

【题目】如图,抛物线经过A0),B0),C02)三点.

1)求抛物线的解析式;

2)在直线AC下方的抛物线上有一点D,使得DCA的面积最大,求点D的坐标;

3)设点M是抛物线的顶点,试判断抛物线上是否存在点H满足?若存在,请求出点H的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2D-1-1);(3)(

【解析】

试题分析:(1)根据待定系数法,可得抛物线的解析式;

2)根据图形的割补法,可得面积的和差,根据二次函数的性质,可得答案;

3)根据余角的性质,可得AMN=NKM,根据相似三角形的判定与性质,可得,根据解方程组,可得H点坐标.

试题解析:(1)设抛物线的解析式为,将A﹣20),B0)代入解析式,得,解得抛物线的解析式是

2)由题意可求得AC的解析式为,如图1,设D点的坐标为(t),过DDEx轴交ACE点,E点的坐标为(tt+2),DE=,用h表示点C到线段DE所在直线的距离,

=﹣2t0

t=﹣1时,DCA的面积最大,此时D点的坐标为(﹣1﹣1);

3)存在点H满足AMH=90°,由(1)知M点的坐标为(如图2:作MHAMx轴于点Kx0),作MNx轴于点N∵∠AMN+KMA=90°NKM+KMN=90°∴∠AMN=NKM∵∠ANM=MNKAMN∽△MKN=ANNK,解得K点坐标为(0直线MK的解析式为,把代入,化简得=﹣4×48×55=64×4=2560,将代入,解得直线MN与抛物线有两个交点MH抛物线上存在点H,满足AMH=90°,此时点H的坐标为().

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