题目内容

【题目】在图中,正方形AOBD的边AO,BO在坐标轴上,若它的面积为16,点M从O点以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动,当M到达B点时,运动停止.连接AM,过M作AM⊥MF,且满足AM=MF,连接AF交BD于E点,过F作FN⊥x轴于N,连接ME.设点M运动时间为t(s).

(1)直接写出点D和M的坐标(可用含t式子表示);
(2)当△MNF面积为 时,求t的值;
(3)△AME能否为等腰三角形?若不能请说明理由;若能,求出t的值.

【答案】
(1)

解:∵正方形AOBD的面积为为16,

∴正方形的边长为4,即OB=BD=4.

∴D(4,4).

∵OM=t,点M在x轴上,

∴M(t,0)


(2)

解:∵AM⊥MF,

∴∠AMF=90°.

∴∠AMO+∠FMN=90°.

又∵∠OAM+∠AMO=90°,

∴∠OAM=∠FMN.

在△AMO于△MFN中,

∴△AMO≌△MFN(AAS).

∴OM=FN,OA=MN.

AOOM= MNFN= ×4×t= ,解得:t=


(3)

解:①∵△AMF为等腰直角三角形,

∴MF=AM≠ME.

∴AM=EM这种情况不成立.

②当AE=ME时.

∵△AMF为等腰直角三角形,

∴∠MAE=45°.

∵AE=ME,

∴∠MAE=∠AME=45°.

∴∠AEM=90°.

∴∠AED+∠MEB=90°.

又∵∠AED+∠EAD=90°,

∴∠MEB=∠EAD.

在△MEB和△EDA中

∴△MEB≌△EAD(AAS).

∴BE=AD.

∴点B与点D重合,点M与点B重合.

∴t=4.

③当AM=AE时,如图所示:连接AB交ME于点H.

∵在Rt△AOM和Rt△ADE中,

∴Rt△AOM≌△Rt△ADE.

∴DE=OM=t,∠MAO=∠DAE=22.5°.

∵四边形AOBD为正方形,

∴∠BAO=∠DAB=45°.

∴∠MAH=∠EAH=22.5°.

∴∠MAH=∠EAH=∠OAM=∠DAE=22.5°.

∴AH⊥ME.

∴MO=MH=t,HE=DE=t.

∴ME=MH+HE=2t.

∵MB=BE=4﹣t,由勾股定理得:ME2=MB2+BE2,即2(4﹣t)2=4t2

解得:t=4 ﹣4,t=﹣4﹣4 (舍去).

综上所述,当t=4或y=4 ﹣4时,△AME为等腰三角形.


【解析】(1)由正方形的面积可求得正方形的边长,从而可得到点D的坐标,由题意可知OM=t,且M在x轴上,故此可得到点M的坐标;(2)先依据AAS证明△AMO≌△MFN,从而得到OM=FN,OA=MN,接下来由三角形的面积公式可求得OM的长,从而得到t得值;(3)可分为AM=EM、AE=ME、AM=AE三种情况.其中AM=EM的情况不成立;当AE=ME时,可依据AAS证明△MEB≌△EAD,从而得到BE=AD,于是可得到M与点B重合从而求得t的值;当AM=AE时,可证明MO=MH=HE=DE,从而可求得ME=2t,MB=4﹣t,然后在△MBE中依据勾股定理列出关于t的方程,从而可取得t的值.
【考点精析】通过灵活运用全等三角形的性质,掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等即可以解答此题.

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