题目内容
【题目】在图中,正方形AOBD的边AO,BO在坐标轴上,若它的面积为16,点M从O点以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动,当M到达B点时,运动停止.连接AM,过M作AM⊥MF,且满足AM=MF,连接AF交BD于E点,过F作FN⊥x轴于N,连接ME.设点M运动时间为t(s).
(1)直接写出点D和M的坐标(可用含t式子表示);
(2)当△MNF面积为 时,求t的值;
(3)△AME能否为等腰三角形?若不能请说明理由;若能,求出t的值.
【答案】
(1)
解:∵正方形AOBD的面积为为16,
∴正方形的边长为4,即OB=BD=4.
∴D(4,4).
∵OM=t,点M在x轴上,
∴M(t,0)
(2)
解:∵AM⊥MF,
∴∠AMF=90°.
∴∠AMO+∠FMN=90°.
又∵∠OAM+∠AMO=90°,
∴∠OAM=∠FMN.
在△AMO于△MFN中, ,
∴△AMO≌△MFN(AAS).
∴OM=FN,OA=MN.
∴ AOOM=
MNFN=
,
×4×t=
,解得:t=
(3)
解:①∵△AMF为等腰直角三角形,
∴MF=AM≠ME.
∴AM=EM这种情况不成立.
②当AE=ME时.
∵△AMF为等腰直角三角形,
∴∠MAE=45°.
∵AE=ME,
∴∠MAE=∠AME=45°.
∴∠AEM=90°.
∴∠AED+∠MEB=90°.
又∵∠AED+∠EAD=90°,
∴∠MEB=∠EAD.
在△MEB和△EDA中 ,
∴△MEB≌△EAD(AAS).
∴BE=AD.
∴点B与点D重合,点M与点B重合.
∴t=4.
③当AM=AE时,如图所示:连接AB交ME于点H.
∵在Rt△AOM和Rt△ADE中, ,
∴Rt△AOM≌△Rt△ADE.
∴DE=OM=t,∠MAO=∠DAE=22.5°.
∵四边形AOBD为正方形,
∴∠BAO=∠DAB=45°.
∴∠MAH=∠EAH=22.5°.
∴∠MAH=∠EAH=∠OAM=∠DAE=22.5°.
∴AH⊥ME.
∴MO=MH=t,HE=DE=t.
∴ME=MH+HE=2t.
∵MB=BE=4﹣t,由勾股定理得:ME2=MB2+BE2,即2(4﹣t)2=4t2.
解得:t=4 ﹣4,t=﹣4﹣4
(舍去).
综上所述,当t=4或y=4 ﹣4时,△AME为等腰三角形.
【解析】(1)由正方形的面积可求得正方形的边长,从而可得到点D的坐标,由题意可知OM=t,且M在x轴上,故此可得到点M的坐标;(2)先依据AAS证明△AMO≌△MFN,从而得到OM=FN,OA=MN,接下来由三角形的面积公式可求得OM的长,从而得到t得值;(3)可分为AM=EM、AE=ME、AM=AE三种情况.其中AM=EM的情况不成立;当AE=ME时,可依据AAS证明△MEB≌△EAD,从而得到BE=AD,于是可得到M与点B重合从而求得t的值;当AM=AE时,可证明MO=MH=HE=DE,从而可求得ME=2t,MB=4﹣t,然后在△MBE中依据勾股定理列出关于t的方程,从而可取得t的值.
【考点精析】通过灵活运用全等三角形的性质,掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等即可以解答此题.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)