题目内容

（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．试说明∠BOC=90°+ $数学公式$ ∠A；
（2）如图所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．试说明∠D=90°- $数学公式$ ∠A；
（3）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．

证明：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠OBC+∠OCB= $\text{[math]}$ （180°-∠A）= $\text{[math]}$ ×（180°-x°）=90°- $\text{[math]}$ ∠A
故∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°- $\text{[math]}$ ∠A）=90°+ $\text{[math]}$ ∠A；

（2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠BCD= $\text{[math]}$ （∠A+∠ABC）、∠DBC= $\text{[math]}$ （∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC，
=180°- $\text{[math]}$ [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°- $\text{[math]}$ （∠A+180°），
=90°- $\text{[math]}$ ∠A；

（3）如图：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D
∴∠1=∠2，∠5= $\text{[math]}$ （∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A----①
在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3- $\text{[math]}$ （∠A+2∠1），
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，
把①代入②得2∠D=∠A．

分析：（1）根据三角形角平分线的性质可得，∠BOC+∠OCB=90°- $\text{[math]}$ ∠A，根据三角形内角和定理可得∠BOC=90°+ $\text{[math]}$ ∠A；
（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD= $\text{[math]}$ （∠A+∠ABC）、∠DBC= $\text{[math]}$ （∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BDC=90°- $\text{[math]}$ ∠A；
（3）根据BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠D=180°-∠4=∠5=180°-∠3- $\text{[math]}$ （∠A+2∠1），两式联立可得2∠D=∠A．
点评：此类题目比较简单，考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．