Question

【题目】如图，抛物线与两坐标轴相交于点，是抛物线的顶点， 是线段的中点.

(1)求抛物线的解析式，并写出点的坐标;

(2) 是抛物线上的动点；

①当时，求的面积的最大值；

②当时，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3，D(1,4)； (2) ①当x=2时，S最大值=1；②F（－，－2－２）或（2－，－2+2）

【解析】（1）利用待定系数法可求得抛物线的解析式，然后再配方成顶点式即可得点D的坐标；

（2）①由x＞1，y＞0，可以确定点F是直线BD上方抛物线上的动点，F（x, -x2+2x+3），过点F作FH⊥x轴交直线BD于M，由B、D的坐标易得yBD=-2x+6，继而得M（x，-2x+6），从而得到FM=-(x-2)2+1，再根据S△BDF=S△DFM+S△BFM，从而可得S△BDF=-(x-2)2+1，根据二次函数的性质即可得；

②分点F在x轴上方抛物线上，点F在x轴下方、y轴左侧抛物线上两种情况进行讨论即可得.

（1）抛物线与两坐标轴相交于点

由题意得：，解得：，

所以抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，

配方得 y=-(x-1)2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）；

（2） ①∵x＞1，y＞0，

∴点F是直线BD上方抛物线上的动点，

则F（x, -x2+2x+3），

如图，过点F作FH⊥x轴交直线BD于M，

∵B（3，0）， D（1，4），

∴yBD=-2x+6，

则M（x，-2x+6），

∴FM=-x2+2x+3-(-2x+6)= -x2+4x-3=-(x-2)2+1，

∵S△BDF=S△DFM+S△BFM，

∴S△BDF=FM（x-1）+FM（3-x）=FM(x-1+3-x)=FM =-(x-2)2+1，

∴当x=2时，S最大值＝1；

②如图，当 FE∥BD，且点F在x轴上方抛物线上时，

设FE的解析式为y=-2x+b，

∵直线FE过点E（1，0），

∴b=2，

yFE=-2x+2，

联立y=-2x+2与y=-x2+2x+3，

解得F（2－，－2+2）；

如图，当F在x轴下方、y轴左侧抛物线上时，设直线EF与直线BD交于点N，

∵∠AEF=∠NEB，

又∵∠AEF＝∠DBE，

∴∠NEB＝∠DBE，

∴NE=NB，

∴点N的横坐标为2，

又∵点N在直线yBD=-2x+6上，

∴N（2，2），

∴yＥN＝2x-2，

联立y=2x-2与y=-x2+2x+3，

解得F（－，－2－2），

综上所述F（－，－2－2）或（2－，－2+2）.