Question

【题目】如图，在菱形中，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的值为___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

延长DM交CB的延长线于点H．首先证明△ADM≌△BHM，得出AD=HB=4，MD=MH，由线段垂直平分线的性质得出EH=ED，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x，即BE，结合AB得出cosB的值.

解：延长DM交CB的延长线于点H．如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=4，AD∥CH，
∴∠ADM=∠H，
∵M是AB的中点，
∴AM=BM，
在△ADM和△BHM中，

，

∴△ADM≌△BHM（AAS），
∴AD=HB=4，MD=MH，
∵∠EMD=90°，

∴EM⊥DH，
∴EH=ED，
设BE=x，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB=∠EAD=90°，
∵AE2=AB2-BE2=DE2-AD2，
∴42-x2=（4+x）2-42，
解得：x=，或x=（舍），

∴BE=，

∴cosB=.

故答案为：.