Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与
⊙O的交点为D，DE⊥AC，与AC的延长线交于点E．

小题1:（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
小题2:（2）若OE与AD交于点F，，求的值．

Answer 1

小题1:（1）证明：连接OD．（如图6）
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠1=∠2．…………………………………………………………………1分
∵ OA=OD，                      
∴ ∠1=∠3．
             ∴ ∠2=∠3．
∴ OD∥AE．
∵ DE⊥AC，
∴ ∠AED=90°．
∴ ．…………2分
∴ DE⊥OD．
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DE是⊙O的切线．
小题2:（2）解：作OG⊥AE于点G．（如图6）
∴ ∠OGE=90°．
∴ ∠ODE=∠DEG=∠OGE=90°．
∴ 四边形OGED是矩形．
∴ OD=GE．……………………………………………………………………4分
在Rt△OAG中，∠OGA=90°，，设AG=4k，则OA=5k．
∴ GE=OD =5k．
∴ AE=AG+GE=9k．
∵ OD∥GE，
∴ △ODF∽△EAF．
∴ ．

略