Question

如图，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB。

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径。

Answer 1

(1)见解析；（2）30 °（3）.

试题分析：（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线；
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；
（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，进而求出⊙O的半径．
试题解析：
（1）证明：连接OB
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB="90" °
∴∠OBA+∠ABC="90" °
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线．

（2）连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF="60" °
∴∠ABF=∠AOF="30" °

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，
∴EG=BE=5
又Rt△ADE∽Rt△CGE
∴sin∠ECG=sin∠A=，
∴CE==13
∴CG==12，
又CD=15，CE=13，
∴DE=2，
由Rt△ADE∽Rt△CGE得
∴AD==
∴⊙O的半径为2AD=．