题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,圆M经过原点O,且与x轴、y轴分别相交于A(﹣8,0),B(0,﹣6)两点.
(1)求出直线AB的函数解析式;
(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在圆M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数解析式;
(3)设(2)中的抛物线交x轴于D、E两点,在抛物线上是否存在点P,使得S△PDE=S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解析式为y=﹣x﹣6;(2)详见解析(3)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法可求出直线AB的解析式;
(2)先利用勾股定理计算出AB=10,再根据圆周角定理得到AB为⊙M的直径,则点M为AB的中点,M(﹣4,﹣3),则可确定C(﹣4,2),然后利用顶点式求出抛物线解析式;
(3)通过解方程﹣(x+4)2+2=0得到D(﹣6,0),E(﹣2,0),利用S△ABC=S△ACM+S△BCM,可求出S△ABC=10,设P(t,﹣t2﹣4t﹣6),所以(﹣2+6)|﹣t2﹣4t﹣6|=20,然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标.
【试题解析】(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+b,把A(﹣8,0),B(0,﹣6)代入得,解得,所以直线AB的解析式为y=﹣x﹣6;
(2)在Rt△AOB中,AB==10,∵∠AOB=90°,∴AB为⊙M的直径,
∴点M为AB的中点,M(﹣4,﹣3),∵MC∥y轴,MC=5,∴C(﹣4,2),
设抛物线的解析式为y=a(x+4)2+2,
把B(0,﹣6)代入得16a+2=﹣6,解得a=﹣,
∴抛物线的解析式为y=﹣(x+4)2+2,即y=﹣x2﹣4x﹣6;
(3)存在.
当y=0时,﹣(x+4)2+2=0,解得x1=﹣2,x2=﹣4,
∴D(﹣6,0),E(﹣2,0),
S△ABC=S△ACM+S△BCM=8CM=20,
设P(t,﹣t2﹣4t﹣6),
∵S△PDE=S△ABC,
∴(﹣2+6)|﹣t2﹣4t﹣6|=20,
即|﹣t2﹣4t﹣6|=1,当﹣t2﹣4t﹣6=1,解得t1=﹣4+,t2=﹣4﹣,此时P点坐标为(﹣4+,1)或(﹣4﹣,0);当﹣t2﹣4t﹣6=﹣1,解得t1=﹣4+,t2=﹣4﹣;此时P点坐标为(﹣4+,﹣1)或(﹣4﹣,0).
综上所述,P点坐标为(﹣4+,1)或(﹣4﹣,0)或(﹣4+,﹣1)或(﹣4﹣,0)时,使得S△PDE=S△ABC.