题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,圆M经过原点O,且与x轴、y轴分别相交于A(﹣8,0),B(0,﹣6)两点.

(1)求出直线AB的函数解析式;

(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在圆M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数解析式;

(3)设(2)中的抛物线交x轴于D、E两点,在抛物线上是否存在点P,使得SPDE=SABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)解析式为y=﹣x﹣6;(2)详见解析(3)详见解析

【解析】

试题分析:(1)利用待定系数法可求出直线AB的解析式;

(2)先利用勾股定理计算出AB=10,再根据圆周角定理得到AB为M的直径,则点M为AB的中点,M(﹣4,﹣3),则可确定C(﹣4,2),然后利用顶点式求出抛物线解析式;

(3)通过解方程﹣(x+4)2+2=0得到D(﹣6,0),E(﹣2,0),利用SABC=SACM+SBCM,可求出SABC=10,设P(t,﹣t2﹣4t﹣6),所以(﹣2+6)|t2﹣4t﹣6|=20,然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标.

【试题解析】(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+b,把A(﹣8,0),B(0,﹣6)代入得,解得,所以直线AB的解析式为y=﹣x﹣6;

(2)在RtAOB中,AB==10,∵∠AOB=90°,AB为M的直径,

点M为AB的中点,M(﹣4,﹣3),MCy轴,MC=5,C(﹣4,2),

设抛物线的解析式为y=a(x+4)2+2,

把B(0,﹣6)代入得16a+2=﹣6,解得a=﹣

抛物线的解析式为y=﹣(x+4)2+2,即y=﹣x2﹣4x﹣6;

(3)存在.

当y=0时,﹣(x+4)2+2=0,解得x1=﹣2,x2=﹣4,

D(﹣6,0),E(﹣2,0),

SABC=SACM+SBCM=8CM=20,

设P(t,﹣t2﹣4t﹣6),

SPDE=SABC

(﹣2+6)|t2﹣4t﹣6|=20,

|t2﹣4t﹣6|=1,当﹣t2﹣4t﹣6=1,解得t1=﹣4+,t2=﹣4﹣,此时P点坐标为(﹣4+,1)或(﹣4﹣,0)当﹣t2﹣4t﹣6=﹣1,解得t1=﹣4+,t2=﹣4﹣;此时P点坐标为(﹣4+,﹣1)或(﹣4﹣,0).

综上所述,P点坐标为(﹣4+,1)或(﹣4﹣,0)或(﹣4+,﹣1)或(﹣4﹣,0)时,使得SPDE=SABC

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