题目内容
【题目】阅读理解:运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立,这种解决问题的方法我们称之为面积法.如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,AC边上的高为h,点M为底边BC上的任意一点,点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2 , 连接AM,利用S△ABC=S△ABM+S△ACM , 可以得出结论:h=h1+h2 .
类比探究:在图1中,当点M在BC的延长线上时,猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论.
拓展应用:如图2,在平面直角坐标系中,有两条直线l1:y= x+3,l2:y=﹣3x+3,
若l2上一点M到l1的距离是1,试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论,求出点M的坐标.
【答案】解:类比探究:
结论:h=h1﹣h2 .
理由:
∵S△ABC= ACBD= ACh,
S△ABM= ABME= ABh1 ,
S△ACM= ACMF= ACh2 , .
又∵S△ABC=S△ABM﹣S△ACM ,
∴ ACh= ABh1﹣ ACh2 .
∵AB=AC,
∴h=h1﹣h2 .
拓展应用:在y= x+3中,令x=0得y=3;令y=0得x=﹣4,
则:A(﹣4,0),B(0,3),同理求得C(1,0),
OA=4,OB=3,AC=5,
AB= =5,
所以AB=AC,
即△ABC为等腰三角形.
设点M的坐标为(x,y),
①当点M在BC边上时,由h1+h2=h得:
OB=1+y,y=3﹣1=2,把它代入y=﹣3x+3中求得:x= ,
∴M( ,2);
②当点M在CB延长线上时,由h1﹣h2=h得:
OB=y﹣1,y=3+1=4,把它代入y=﹣3x+3中求得:x=﹣ ,
∴M(﹣ ,4).
综上所述点M的坐标为( ,2)或(﹣ ,4).
【解析】类比探究:结论:h=h1﹣h2 . 连接OA.利用三角形面积公式根据S△ABC=S△ABM﹣S△ACM , 代入化简即可解决问题.
拓展应用:首先证明AB=AC,分两种情形利用(1)中结论,列出方程即可解决问题.