Question

【题目】如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE= BC，连接DE，CF．
（1）求证：DE=CF；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC．

又∵F是AD的中点，∴FD= AD．

∵CE= BC，

∴FD=CE．

又∵FD∥CE，

∴四边形CEDF是平行四边形．

∴DE=CF

（2）解：过D作DG⊥CE于点G．如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，CD=AB=4，BC=AD=6．

∴∠DCE=∠B=60°．

在Rt△CDG中，∠DGC=90°，

∴∠CDG=30°，

∴CG= CD=2．

由勾股定理，得DG= =2 ．

∵CE= BC=3，

∴GE=1．

在Rt△DEG中，∠DGE=90°，

∴DE= = ．

【解析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），得出四边形CEDF是平行四边形，即可得出结论；（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．
【考点精析】利用平行四边形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．