题目内容
【题目】对于0，1以及真分数p，q，r，若p<q<r，我们称q为p和r的中间分数．为了帮助我们找中间分数，制作了下表：
两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的3个分数
、
、
，有
，所以
为
和
的一个中间分数，在表中还可以找到
和
的中间分数
， 
， 
， 
．把这个表一直写下去，可以找到
和
更多的中间分数．
（1）按上表的排列规律，完成下面的填空：
①上表中括号内应填的数为 ；
②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的
和
的中间分数是 ；
（2）写出分数
和
（a、b、c、d均为正整数， 
， 
）的一个中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；
（3）若
与
（m、n、s、 t均为正整数）都是
和
的中间分数，则
的最小值为 ．
【答案】（1）①
；②
（2）证明见解析（3）1504
【解析】试题分析：（1）①观察每一行的规律可得括号位于第⑦行，按表格中的规律可知是
；
②观察表格可知第一个出现的
和
的中间分数在第⑧行，是
；
（2）答案不唯一，根据表格中观察到的，可以为
，通过推导证明即可得；
（3）根据排列可知
和
的中间分数有
， 
， 
， 
等，由此可得.
试题解析：（1）①观察每一行的规律可得括号位于第⑦行，按分子的排序可知是
，
②观察表格可知第一个出现的
和
的中间分数在第⑧行，是
，
故答案为：①
；②
．
（2）本题结论不唯一，证法不唯一，如：
结论： 
．
∵a、b、c、d均为正整数， 
， 
，
∴
，
．
∴
．
（3）根据排列可知
和
的中间分数有
， 
， 
， 
等，由此可得mn的最小值为1504，
故答案为：1504.
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