题目内容

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2 $数学公式$ cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2 $\text{[math]}$ t．
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵AO=10 $\text{[math]}$ ，AB=20，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．又∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．
∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．

（2）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，
∴AM= $\text{[math]}$ ．
在△APQ中，∠AQP=90°，
∴AQ=AP•cos30°=2 $\text{[math]}$ t，
∴QM=AC-2AQ=20 $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ t．
由AQ+QM=AM得：2 $\text{[math]}$ t+20 $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ．
∴当t= $\text{[math]}$ 时，点P、M、N在一直线上．

②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．
设l交AC于H．
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．
∴MH=2NH．得20 $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ =2× $\text{[math]}$ ，解得t=2．
如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．
∴MH=2PH，同理可得t= $\text{[math]}$ ．
故当t=2或 $\text{[math]}$ 时，存在以PN为一直角边的直角三角形．

分析：（1）此问需分两种情况，当0＜t≤5及5＜t≤10两部分分别讨论得PQ⊥AC．
（2）①由于点P、M、N在一直线上，则AQ+QM=AM，代入求得t的值．
②假设存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形，但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，综合性强，较为复杂，难度较大．