Question

如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．

（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；

（2）求S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（4）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）经过O、A、B三点的抛物线解析式为y_＝－x ²＋x.（2分，设解析式给1分）

y

（2）①当0＜t≤2时，重叠部分为△OPQ，过点A作AD⊥x轴于点D，如图1．

在Rt△AOD中，AD＝OD＝1，∠AOD＝45°．

在Rt△OPQ中，OP＝t，∠OPQ＝∠QOP＝45°．

∴OQ＝PQ＝t．

∴S_＝S_△OPQ＝OQ^·PQ_＝×t×t_＝t ²（0＜t≤2）

②当2＜t≤3时，设PQ交AB于点E，重叠部分为梯形AOPE，

作EF⊥x轴于点F，如图2．∵∠OPQ＝∠QOP＝45°

 ∴四边形AOPE是等腰梯形  ∴AE＝DF＝t－2．

∴S_＝S_{梯形AOPE＝} (AE＋OP)^·AD_＝ (t－2＋t)×1

_＝t－1（2＜t≤3）

③当3＜t＜4时，设PQ交AB于点E，交BC于点F，

重叠部分为五边形AOCFE，如图3．

∵B（3，1），OP＝t，∴PC＝CF＝t－3．

∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形

∴BE＝BF＝1－₍t－3₎＝4－t

∴S_＝S_{五边形AOCFE＝}S_梯形OABC －S_△BEF＝ (2＋3)×1－(4－t)²

_＝－t ²＋4t_－（3＜t＜4） ……（5分，每种情况给1分）

（3）只要＝或者＝即可，3－t＝×t  或3－t＝×t

解得t＝2或t＝    ………………………（8分，求出一解给2分，两解给3分）

（4）存在． t₁＝1，t₂＝2．   …………………（10分，每个值给1分）