题目内容

如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C.A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂精英家教网直于直线OA,垂足为Q,设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)设出此抛物线的解析式,把A、B两点的坐标代入此解析式求出a、b的值即可;
(2)由与t的取值范围不能确定,故应分三种情况进行讨论,
①当0<t≤2,重叠部分的面积是S△OPQ,过点A作AF⊥x轴于点F,在Rt△OPQ中利用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值即可求出其面积;
②当2<t≤3,设PQ交AB于点G,作GH⊥x轴于点H,∠OPQ=∠QOP=45°,则四边形OAGP是等腰梯形,
重叠部分的面积是S梯形OAGP,由梯形的面积公式即可求解;
③当3<t<4,设PQ与AB交于点M,交BC于点N,重叠部分的面积是S五边形OAMNC
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形,所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC-S△BMN,进而可求出答案;
(3)根据图形旋转的性质可求出将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°时P、Q两点的坐标,再根据抛物线的解析式即可求出t的值.
解答:精英家教网解:(1)解法一:由图象可知:抛物线经过原点,
设抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0).
把A(1,1),B(3,1)代入上式得
1=a+b
1=9a+3b

解得
a=-
1
3
b=
4
3

∴所求抛物线解析式为y=-
1
3
x2+
4
3
x;

解法二:∵A(1,1),B(3,1),∴抛物线的对称轴是直线x=2.
设抛物线解析式为y=a(x-2)2+h(a≠0),
把O(0,0),A(1,1)代入得
0=a(0-2)2+h
1=a(1-2)2+h

解得
a=-
1
3
h=
4
3
∴所求抛物线解析式为:y=-
1
3
(x-2)2+
4
3


(2)分三种情况:
①当0<t≤2,重叠部分的面积是S△OPQ,过点A作AF⊥x轴于点F,
∵A(1,1),在Rt△OAF中,AF=OF=1,∠AOF=45°,
在Rt△OPQ中,OP=t,∠OPQ=∠QOP=45°,
∴PQ=OQ=tcos45°=
2
2
t,
∴S=
1
2
2
2
t)2=
1
4
t2精英家教网

②当2<t≤3,设PQ交AB于点G,
作GH⊥x轴于点H,∠OPQ=∠QOP=45°,则四边形OAGP是等腰梯形,
重叠部分的面积是S梯形OAGP
∴AG=FH=t-2,
∴S=
1
2
(AG+OP)AF=
1
2
(t+t-2)×1=t-1.

③当3<t<4,设PQ与AB交于点M,交BC于点N,精英家教网
重叠部分的面积是S五边形OAMNC
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形,
所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC-S△BMN
∵B(3,1),OP=t,
∴PC=CN=t-3,
∴BM=BN=1-(t-3)=4-t,
∴S=
1
2
(2+3)×1-
1
2
(4-t)2 S=-
1
2
t2+4t-
11
2


(3)存在t1=1,t2=2.
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,此时Q(t+
t
2
t
2
),O(t,t)
①当点Q在抛物线上时,
t
2
=-
1
3
×(t+
t
2
2+
4
3
×(t+
t
2
),解得t=2;
②当点O在抛物线上时,t=-
1
3
t2+
4
3
t,解得t=1.
点评:本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数的解析式,三角形的面积公式、梯形的面积公式及图形旋转的性质,涉及面较广,难度较大.
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