Question

如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出此抛物线的解析式，把A、B两点的坐标代入此解析式求出a、b的值即可；
（2）由与t的取值范围不能确定，故应分三种情况进行讨论，
①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S_△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，在Rt△OPQ中利用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值即可求出其面积；
②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，
重叠部分的面积是S_梯形OAGP，由梯形的面积公式即可求解；
③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S_{五边形OAMNC}．
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是S_{五边形OAMNC}=S_梯形OABC-S_△BMN，进而可求出答案；
（3）根据图形旋转的性质可求出将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°时P、Q两点的坐标，再根据抛物线的解析式即可求出t的值．

解答：解：（1）解法一：由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为y=ax²+bx（a≠0）．
把A（1，1），B（3，1）代入上式得

1=a+b 1=9a+3b

，
解得

a=- 1 3 b= 4 3

，
∴所求抛物线解析式为y=-

1

3

x²+

4

3

x；

解法二：∵A（1，1），B（3，1），∴抛物线的对称轴是直线x=2．
设抛物线解析式为y=a（x-2）²+h（a≠0），
把O（0，0），A（1，1）代入得

0=a(0-2)2+h 1=a(1-2)2+h

解得

a=- 1 3 h= 4 3

∴所求抛物线解析式为：y=-

1

3

（x-2）²+

4

3

．

（2）分三种情况：
①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S_△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，
∵A（1，1），在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos45°=

2

2

t，
∴S=

1

2

（

2

2

t）²=

1

4

t²．

②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，
作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，
重叠部分的面积是S_梯形OAGP．
∴AG=FH=t-2，
∴S=

1

2

（AG+OP）AF=

1

2

（t+t-2）×1=t-1．

③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，
重叠部分的面积是S_{五边形OAMNC}．
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重叠部分的面积是S_{五边形OAMNC}=S_梯形OABC-S_△BMN．
∵B（3，1），OP=t，
∴PC=CN=t-3，
∴BM=BN=1-（t-3）=4-t，
∴S=

1

2

（2+3）×1-

1

2

（4-t）² S=-

1

2

t²+4t-

11

2

；

（3）存在t₁=1，t₂=2．
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+

t

2

，

t

2

），O（t，t）
①当点Q在抛物线上时，

t

2

=-

1

3

×（t+

t

2

）²+

4

3

×（t+

t

2

），解得t=2；
②当点O在抛物线上时，t=-

1

3

t²+

4

3

t，解得t=1．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积公式、梯形的面积公式及图形旋转的性质，涉及面较广，难度较大．