Question

6、如图所示，已知在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC上的点，且EA=ED，∠AEB=75°，∠DEC=45°，试说明AB=BC．

Answer 1

分析：作AF⊥CD交CD的延长线于F，由∠AEB=75°，∠DEC=45°得∠AEB=60°，由EA=ED即可得△AED为等边三角形，即AE=AD；由∠AEB=75°AF⊥CD，可得∠BAE=∠FAD，则可得△ABE≌△AFD，得AB=AF；由条件可知四边形ABCF为矩形，即可得AB=BC．

解答：解：作AF⊥CD交CD的延长线于F，
∵∠AEB=75°，∠DEC=45°，
∴∠AED=60°，
又∵EA=ED，①
∴△AED为等边三角形，即AE=AD；
∵∠AEB=75°，AF⊥CD，
∴∠BAE=∠FAD=15°，②
由∠ABE=∠AFD=90°和结论①②可得△ABE≌△AFD（AAS），
∴AB=AF；③
∵∠B=∠C=90°，AF⊥CD，
∴四边形ABCF为矩形，即AF=BC，④
∴由结论③④可得AB=BC．

点评：本题考查直角梯形的性质，涉及到全等三角形全等的判定知识点，作出正确的辅助线是解题的关键．