题目内容

【题目】在△ABC中,BD平分∠ABC,EF垂直平分BDCA延长线于点E.

(1)求证:ED2=EAEC;

(2)若ED=6,BD=CD=3,求BC的长.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】分析:(1)根据EFBD的垂直平分线,可得EB=ED,再证明EAB∽△EBC,列比例式为,将EBED替换可得结论;

(2)根据EAB∽△EBC,得,代入可得EA=4,作高线AG、DH,根据勾股定理求EF=,利用面积法可得DH的长,再用平行相似得:AGE∽△DHE,列比例式得AG的长,从而得EG的长,根据勾股定理得BC的长.

详解:(1)证明:∵EFBD的垂直平分线,

EB=ED,

∴∠EDB=EBD,

∵∠EDB=C+DBC,EBD=ABE+ABD,

BD平分∠ABC,

∴∠ABD=DBC,

∴∠C=ABE,

∵∠BEC=BEA,

∴△EAB∽△EBC,

EB2=EAEC,

EB=ED,

ED2=EAEC;

(2)ED=EB=6,BD=CD=3,

EC=6+3=9,

由(1)知EAB∽△EBC,

,EA=4,

AAGEBG,过DDHEBH,

RtEFD中,ED=6,DF=

EF=

SEBD=EBDH=BDEF,

DH=EF=

AGDH,

∴△AGE∽△DHE,

由勾股定理得:EG=

BG=6﹣=

由勾股定理得:AB=

∵△EAB∽△EBC,

BC=

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