题目内容

【题目】阅读下列材料:

1637 年笛卡儿(RDescartes1596 1650)在其《几何学》中,首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解,并最早给出因式分解定理.

他认为,若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除,则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积,而且令这个多项式的值为 0 时, x = a 是关于 x 的这个方程的一个根.

例如:多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积,即

时,可知 x =1 为该方程的一个根.

关于笛卡尔的待定系数法原理,举例说明如下: 分解因式:

观察知,显然 x=1 时,原式 = 0 ,因此原式可分解为 () 与另一个整式的积.

令:,则=,因等式两边 x 同次幂的系数相等,则有:,得,从而

此时,不难发现 x= 1 是方程 的一个根.

根据以上材料,理解并运用材料提供的方法,解答以下问题:

1)若 是多项式 的因式,求 a 的值并将多项式分解因式;

2)若多项式 含有因式 ,求a+ b 的值.

【答案】1;(2a+ b=

【解析】

1)已知多项式的因式,将多项式分解为该因式与另外一个整式乘积的形式,将这个新构造的式子中的系数与原式中的系数进行对照,列方程即可得到答案

2)已知多项式中含有因式,根据材料中的内容可知因式的解为零,所以解得未知数的值,再利用未知数的值带入原式即可求解到参数的值,将结果相加即可求得答案

1)令:

因等式两边 x 同次幂的系数相等,则有:

解得:

从而=x3+1=x+1(x2-x+1)

2)设(其中M为二次整式),

由材料可知:x+1=0x-2=0

所以:x=-1x=2是方程的解,

所以

解得a=8b=-39

∴ab=8+(-39) =-31

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