题目内容

【题目】如图,中,,点边上的一个动点(不与点中点重合),连接,点关于直线的对称点为点,直线交于点.

(1)如图1,当时,根据题意将图形补充完整,并直接写出的度数;

(2)如图2,当时,用等式表示线段之间的数量关系,并加以证明.

【答案】(1)(2)

【解析】

1)作AHCD延长于H,延长AHE,使AH=HE,连接BE并延长BE,交CD延长线于F,可证明CFAE的中垂线,即可得点E是点关于直线的对称点,根据中垂线的性质及等腰三角形的性质即可求出∠BFC的度数;(2)由点关于直线的对称点为点可得,即可证明,根据等腰三角形的性质可得,进而可得,由通过等量代换可知,在RtABC中,利用勾股定理即可证明结论.

1)如图:过点AAHCD延长于H,延长AHE,使AH=HE,连接BE并延长BE,交CD延长线于F

连接CE

AH=EHCHAE

CFAE的中垂线,

∴点E是点关于直线的对称点,

∴图形即为所求.

CFAE的中垂线,

AC=CE

∵∠ACD=15°

∴∠ACE=30°,∠FCE=15°

∵∠ACB=90°

∴∠ECB=60°

AC=BC

CE=BC

∴∠CEB=60°

∴∠BFC=CEB-FCE=60°-15°=45°.

2)猜想:.

证明:连接,延长交于点

∵点关于直线的对称点为点

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中,.

∵在中,

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