题目内容
【题目】如图,中,
,
,点
为
边上的一个动点(不与点
,
及
中点重合),连接
,点
关于直线
的对称点为点
,直线
,
交于点
.
(1)如图1,当时,根据题意将图形补充完整,并直接写出
的度数;
(2)如图2,当时,用等式表示线段
,
,
之间的数量关系,并加以证明.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)作AH⊥CD延长于H,延长AH到E,使AH=HE,连接BE并延长BE,交CD延长线于F,可证明CF是AE的中垂线,即可得点E是点关于直线
的对称点,根据中垂线的性质及等腰三角形的性质即可求出∠BFC的度数;(2)由点
关于直线
的对称点为点
可得
,即可证明
,
,
,根据等腰三角形的性质可得
,进而可得
,由
通过等量代换可知
,在
和Rt△ABC中,利用勾股定理即可证明结论.
(1)如图:过点A作AH⊥CD延长于H,延长AH到E,使AH=HE,连接BE并延长BE,交CD延长线于F,
连接CE,
∵AH=EH,CH⊥AE,
∴CF是AE的中垂线,
∴点E是点关于直线
的对称点,
∴图形即为所求.
∵CF是AE的中垂线,
∴AC=CE,
∵∠ACD=15°,
∴∠ACE=30°,∠FCE=15°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECB=60°,
∵AC=BC,
∴CE=BC,
∴∠CEB=60°,
∴∠BFC=∠CEB-∠FCE=60°-15°=45°.
(2)猜想:.
证明:连接,
,延长
,
交于点
,
∵点关于直线
的对称点为点
,
∴.
∴,
,
.
∵,
∴.
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
在中,
.
∵在中,
,
∴.
∴.

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