题目内容

【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,其顶点坐标为A(﹣1,﹣3),与x轴的一个交点为B(﹣3,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①abc>0;②不等式ax2+(b﹣m)x+c﹣n<0的解集为﹣3<x<﹣1;③抛物线与x轴的另一个交点是(3,0);④方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根;其中正确的是(  )

A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ②④

【答案】D

【解析】

①错误.由题意a>0.b>0,c<0,abc<0;
②正确.因为y1=ax2+bx+c(a≠0)图象与直线y2=mx+n(m≠0)交于A,B两点,当ax2+bx+c<mx+n时,-3<x<-1;即不等式ax2+(b-m)x+c-n<0的解集为-3<x<-1;故②正确;
③错误.抛物线与x轴的另一个交点是(1,0);
④正确.抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象与直线y=-3只有一个交点,方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根,故④正确.

解:∵抛物线开口向上,∴a>0,
∵抛物线交y轴于负半轴,∴c<0,
∵对称轴在y轴左边,∴- <0,
∴b>0,
∴abc<0,故①错误.
∵y1=ax2+bx+c(a≠0)图象与直线y2=mx+n(m≠0)交于A,B两点,
ax2+bx+c<mx+n时,-3<x<-1;
即不等式ax2+(b-m)x+c-n<0的解集为-3<x<-1;故②正确,
抛物线与x轴的另一个交点是(1,0),故③错误,
∵抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象与直线y=-3只有一个交点,
∴方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根,故④正确.
故选:D.

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