题目内容
【题目】如图
，在平面直角坐标系中，抛物线
分别与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D．
判定
的形状；
在线段BC下方的抛物线上有一点P，当
面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
如图
，过点E作
轴于点H，将
绕点E逆时针旋转一个角度
，
的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当
为等腰三角形时，求此时KT的值．
【答案】
△ABC为直角三角形；
当
时，
面积最大，最大面积为
，此时
；
当
是等腰三角形时，KT的值为
或
．
【解析】
（1）结论：△ABC是直角三角形．求出A、B、C三点坐标，求出AC、BC、AB的长，利用勾股定理的逆定理证明即可．
（2）作P作PG∥y轴，交BC于G，先利用待定系数法求直线BC的解析式为：
，设P（x，
），则G（x，
），根据三角形面积公式表示△BCP面积，配方可得结论；
（3）①如图，当K与O重合，T与D重合时，△EKT的等腰三角形，求出KT即可解决问题．②如图，当TE=KE时，作KN⊥CE于N，EQ⊥OC于Q，则四边形OQEH是矩形，由△KEN≌△ETH，推出KN=EH=1，再想办法求出OK，OT即可解决问题．
为直角三角形，理由如下：
当
时，
，
点C的坐标为
；
当
时，
，
解得：
，
，
点A的坐标为
，点B的坐标为
．
，
，
．
，
为直角三角形．
如图
，过P作
轴，交BC于G，
点B的坐标为，点C的坐标为，
易得直线BC的解析式为：，
设
，则
，
，
，
是直线BC下方抛物线上的点，
，
当时，面积最大，最大面积为，此时；
如下图中，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
当K与O重合，T与D重合时，
是等腰三角形，
易知
，
，
．
如图，当
时，作
于N，
于Q，则四边形OQEH是矩形，
易知：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌
，
，
在
中，易知
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，当是等腰三角形时，KT的值为或．
