题目内容
【题目】如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB、CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.
(1)求证:BO=DO;
(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长.
【答案】(1)证明过程见解析;(2)AE=3.
【解析】
试题分析:(1)根据平行四边形的性质得出∠OBE =∠ODF,从而得出△OBE和△ODF全等,从而得出答案;(2)根据EF⊥AB,AB ∥DC得出∠GEA=∠GFD=90°,根据∠A的度数得出AE=GE,根据垂直得出OF=FG=1,根据三角形全等得出OE=OF=1,从而根据GE=OE+OF+FG得出答案.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC∥AB ∴∠OBE =∠ODF.
在△OBE与△ODF中, ∵ ∴△OBE≌△ODF(AAS) ∴BO=DO
(2)∵EF⊥AB,AB ∥DC, ∴∠GEA=∠GFD=90° ∵∠A=45°, ∴∠G=∠A=45°
∴AE=GE ∵BD⊥AD, ∴∠ADB=∠GDO=90° ∴∠GOD=∠G=45° ∴DG=DO
∴OF=FG= 1 由(1)可知,OE=OF=1 ∴GE=OE+OF+FG=3 ∴AE=3
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