题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x轴于点C,点A(,1)在反比例函数的图象上.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)在x轴的负半轴上存在一点P,使得S△AOP=S△AOB,求点P的坐标;
(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE.直接写出点E的坐标,并判断点E是否在该反比例函数的图象上,说明理由.
【答案】(1);(2)P(,0);(3)E(,﹣1),在.
【解析】试题分析:(1)将点A(,1)代入,利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式;
(2)先由射影定理求出BC=3,那么B(,﹣3),计算求出S△AOB=××4=.则S△AOP=S△AOB=.设点P的坐标为(m,0),列出方程求解即可;
(3)先解△OAB,得出∠ABO=30°,再根据旋转的性质求出E点坐标为(﹣,﹣1),即可求解.
试题解析:(1)∵点A(,1)在反比例函数的图象上,∴k=×1=,∴反比例函数的表达式为;
(2)∵A(,1),AB⊥x轴于点C,∴OC=,AC=1,由射影定理得=ACBC,可得BC=3,B(,﹣3),S△AOB=××4=,∴S△AOP=S△AOB=.
设点P的坐标为(m,0),∴×|m|×1=,∴|m|=,∵P是x轴的负半轴上的点,∴m=﹣,∴点P的坐标为(,0);
(3)点E在该反比例函数的图象上,理由如下:
∵OA⊥OB,OA=2,OB=,AB=4,∴sin∠ABO===,∴∠ABO=30°,∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE,∴△BOA≌△BDE,∠OBD=60°,∴BO=BD=,OA=DE=2,∠BOA=∠BDE=90°,∠ABD=30°+60°=90°,而BD﹣OC=,BC﹣DE=1,∴E(,﹣1),∵×(﹣1)=,∴点E在该反比例函数的图象上.