题目内容
【题目】如图,n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△B2D1C1的面积为S1,△B3D2C2的面积为S2,…,△Bn+1DnCn的面积为Sn,则S2= ;Sn= .(用含n的式子表示)
【答案】S2=;Sn=.
【解析】
试题分析:由三角形的相似性可求得S2、S3、S4的值,则Sn的值也可用含n的式子表示出来.
解:由于各三角形为等边三角形,且各边长为2,过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线,垂足为M1、M2、M3,
∵△AB1C1是等边三角形,
∴AD1=AC1sin60°=2×=,
∵△B1C1B2也是等边三角形,
∴C1B1是∠AC1B2的角平分线,
∴AD1=B2D1=,
故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=;
S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=2﹣=;
作AB∥B1C1,使AB=AB1,连接BB1,则B2,B3,…Bn在一条直线上.
∵Bn Cn∥AB,
∴==,
∴BnDn=AB=,
则DnCn=2﹣BnDn=2﹣=.
△BnCnBn+1是边长是2的等边三角形,因而面积是:.
△Bn+1DnCn面积为Sn===.
即第n个图形的面积Sn=.
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