题目内容

如图，在直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴交于A（x1，0），B（x2,0）两点，其中x1，x2是方程x2-10x+16=0的两个根，且x1<x2，连接BC，AC．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Ｑ,使△QAC的周长最小，若存在求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点Ｍ在第一象限的抛物线上，当△MBC的面积最大时，求点Ｍ的坐标．
（1）过A、B、C三点的抛物线的解析式（2）存在；Q（5，）（3）点M的坐标为（4,2）

试题分析：（1）解：解方程x2-10x+16=0，由x1<x2，得
x1=2,x2=8
∴A(2,0)  B(8,0);      
OA=2,OB=8
∵OC切⊙P于点C
∴∠ACO=∠ABC
∴ΔOCA∽OBC
∴OC2=OA·OB=16，OC＞0
∴OC=4 ∴C(0，-4)         
设过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-8)
∴16a=-4 ∴a=
∴y=(x-2)(x-8)=        
(2)存在. ∵A,B两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线BC与对称轴的交点即为点Q.      
用待定系数法易求直线BC的解析式为     
当时，
∴Q（5，）     
（3）过点M作ME⊥BC与E,交轴于点D,作MN⊥CD于N
∴∠D＋∠DCE＝90°,而∠OBC＋∠OCB＝90°
∴∠D＝∠OBC＝∠OCA
∴ΔDMN∽ΔCAO∽ΔDCE          
∵OA＝2，OC＝4  ∴AC=
而,        
∴MN=,DN＝,DM＝
而ON＝   
DC＝
∴DE＝ 
∴ME=DE-DM=－
＝     
∴＝·
＝
＝          
即当时，ΔBCM的面积最大.
在=中，时，
∴点M的坐标为（4,2）          
点评：本题考查直线与圆相切，一元二次方程，抛物线，掌握直线与圆相切的概念和性质，会求一元二次方程的解，会用待定系数法求函数解析式
练习册系列答案
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如图，已知关于的一元二次函数（）的图象与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，顶点为．

（1）求出一元二次函数的关系式；
（2）点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为．若，的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点坐标是           时，为直角三角形.
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同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过
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②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．
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（1）若商场平均每天要盈利1200元，且让顾客感到实惠，每件衬衫应降价多少元？
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下列各图中有可能是函数,图象的是
若二次函数配方后为，则的值分别为（   ）
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二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
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（3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，过点E作EG//y轴，交AC于点G（如图2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的？
如图，抛物线交轴于点，交轴于点，在轴上方的抛物线上有两点，它们关于轴对称，点在轴左侧．于点，于点，四边形与四边形的面积分别为6和10，则与的面积之和为　　　　．

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