Question

【题目】已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，点M是射线EC上的一个动点，作等边△DMN，使△DMN与△ABC在BC边同侧，连接NF．

（1）如图1，当点M与点C重合时，直接写出线段FN与线段EM的数量关系；

（2）当点M在线段EC上（点M与点E，C不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）连接DF，直线DM与直线AC相交于点G，若△DNF的面积是△GMC面积的9倍，AB=8，请直接写出线段CM的长．

Answer 1

【答案】（1）FN=EM；（2）图形见解析；FN=EM成立；证明见解析；（3）1或2．

【解析】

(1)先连接ED，EF，DF，根据D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，得出△DEF是等边三角形，进而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN=EM；（2）与（1）类似，先连接ED，EF，DF，得出△DEF是等边三角形，进而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN=EM；（3）分两种情况：①当M在线段CE上时，连接DE，EF，则△DEF是等边三角形，再根据条件判定△GCM∽△DEM，根据相似三角形的性质，得出，再根据CE=BC=4，即可得出CM=CE=1；②当M在线段EC延长线上时，运用同样的方法，判定△GCM∽△DEM，得出，即，再根据CE=4，即可得出CM=CE=2．

（1）线段FN与线段EM的数量关系为：FN=EM．

理由：如图1，连接ED，EF，DF，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，

∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，

∴DE=EF=FD，即△DEF是等边三角形，

∴∠FDE=60°，

又∵△DMN是等边三角形，

∴DN=DM，∠MDN=60°，

∴∠FDN=∠EDM，

在△FDN和△EDM中，

，

∴△DFN≌△DEM（SAS），

∴FN=EM．

（2）补全图形，如图2．结论FN=EM成立．

证明：连接ED，EF，DF，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，

∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，

∴DE=EF=FD，即△DEF是等边三角形，

∴∠FDE=60°，

又∵△DMN是等边三角形，

∴DN=DM，∠MDN=60°，

∴∠FDN=∠EDM，

在△FDN和△EDM中，

，

∴△DFN≌△DEM（SAS），

∴FN=EM．

（3）分两种情况：

①如图3，当M在线段CE上时，连接DE，EF，则△DEF是等边三角形，

由（2）可得△DFN≌△DEM，

∴△DFN与△DEM面积相等，

∵△DNF的面积是△GMC面积的9倍，

∴△DEM的面积是△GMC面积的9倍，

∵CG∥DE，

∴△GCM∽△DEM，

∴，

又∵CE=BC=×8=4，

∴CM=CE=1；

②如图4，当M在线段EC延长线上时，连接DE，EF，则△DEF是等边三角形，

同理可得△DFN≌△DEM，

∴△DFN与△DEM面积相等，

∵△DNF的面积是△GMC面积的9倍，

∴△DEM的面积是△GMC面积的9倍，

∵CG∥DE，

∴△GCM∽△DEM，

∴，即，

又∵CE=BC=4，

∴CM=CE=2．

综上所述，CM的长为1或2．